Question

найти производную функции
$y=x^{ctgx}$

Answer 1

$y=x^{\mathrm{ctg}x}$

Прологарифмируем выражение:

$\ln y=\ln x^{\mathrm{ctg}x}$

Преобразуем по свойствам логарифма:

$\ln y=\mathrm{ctg}x\ln x$

Продифференцируем:

$(\ln y)'=(\mathrm{ctg}x\ln x)'$

$\dfrac{1}{y} \cdot y'=(\mathrm{ctg}x)'\cdot\ln x+\mathrm{ctg}x\cdot(\ln x)'$

$\dfrac{1}{y} \cdot y'=-\dfrac{1}{\sin^2x}\cdot\ln x+\mathrm{ctg}x\cdot\dfrac{1}{x}$

$\dfrac{1}{y} \cdot y'=-\dfrac{\ln x}{\sin^2x}+\dfrac{\mathrm{ctg}x}{x}$

$\dfrac{1}{y} \cdot y'=\dfrac{\mathrm{ctg}x}{x} -\dfrac{\ln x}{\sin^2x}$

Выразим производную:

$y'=y\cdot\left(\dfrac{\mathrm{ctg}x}{x} -\dfrac{\ln x}{\sin^2x}\right)$

Подставим выражение для функции:

$y'=x^{\mathrm{ctg}x}\cdot\left(\dfrac{\mathrm{ctg}x}{x} -\dfrac{\ln x}{\sin^2x}\right)$