Question

Математическое ожидание и дисперсия
Помоги пожалуйста, очень при очень срочно.

Answer 1

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}0,\; esli\; x\leq 0\; ,\; \; \; \; \; \\c\cdot x\; ,\; esli\; 0<x\leq 2\; ,\\0\; ,\; esli\; x>2\; \; \; \; .\end{array}\right\\\\1)\; \; \int\limits^{+\infty }_{-\infty }\, f(x)\, dx=1\; \; \to \; \; \int\limits_{-\infty }^{0}\, f(x)\, dx+\int\limits^2_0\, f(x)\, dx+\int\limits^{+\infty }_2\, f(x)\, dx=\\\\=\int\limits^2_0\, cx\, dx=c\cdot \frac{x^2}{2}\, \Big | _0^2=\frac{c}{2}\cdot (4-0)=2c=1\; ,\; \; \boxed {c=\frac{1}{2}}\\\\2)\; \; M(X)=\int\limits^{+\infty }_{-\infty}f(x)\, dx$

$M(X)=\int\limits^2_0\, \frac{1}{2}\, x \, dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2}\, \Big |_0^2=\frac{1}{4}\cdot (4-0)=1\\\\D(X)=\int\limits^{+\infty }_{-\infty }\, x\cdot f(x)\, dx-\Big (M(X)\Big )^2=\int\limits^2_0\, x\cdot \frac{1}{2}\, x\, dx-1^2=\\\\=\int\limits^2_0\, \frac{1}{2}\, x^2\, dx-1=\frac{1}{2}\cdot \frac{x^3}{3}\, \Big |_0^2-1=\frac{1}{6}\cdot (8-0)-1=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$

$3)\; \; F(X)=\int\limits^{x}_{-\infty }\, f(t)\, dt\\\\x\in (-\infty ,0\, ]:\; \; F(X)=\int\limits^{x}_{-\infty}\, 0\cdot dt=0\; ,\\\\x\in (0,2\, ]:\; \; F(x)=\int \limits _{-\infty }^0\, 0\cdot dt+\int\limits^{x}_0\, \frac{1}{2}\cdot t\, dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{t^2}{2}\, \Big |_0^{x}=\frac{1}{4}\cdot (x^2-0)=\frac{x^2}{4}\; ,\\\\x\in (2,+\infty ):\; \; F(X)=\int\limits_{-\infty }^0\, 0\cdot dt+\int \limits _0^2\, \frac{1}{2}\cdot t\, dt+\int\limits_{2}^{x}\, 0\cdot dt=1$

$F(X)=\left\{\begin{array}{ccc}0\; ,\; esli\; x\leq 0\; ,\; \; \; \\\frac{x^2}{4}\; ,\; esli\; 0<x\leq 2\\1\; ,\; esli\; x>2\; .\; \; \; \; \end{array}\right$

$4)\; \; P(0,2<X<2,2)=\int\limits^{2,2}_{0,2}\, f(x)\, dx=\int\limits^2_{0,2}\, \frac{1}{2}\, x\cdot dx+ \int\limits^{2,2}_{2}\, 0\cdot dx=\\\\=\frac{x^2}{4}\, \Big |_0^2+0=\frac{1}{4}\cdot (4-0)=1$