Question

1. Дан параллелограм ABCD Точка M делит сторону BC в отношении 1:4 точка N сторону AD в отношении 3:1 точка P середина стороны CD. Найдите координаты векторов MN и AP приняв векторы AB=a AD=b за векторы базиса

Дан параллелограм ABCD. Найдите длину диагонали AC если вектор AB=2t-3s(векторы) AD=t+4s(векторы) где (вектор модуль) |t|=1 (вектор модуль) |s|=2. Векторы (t,^,s)=2пи/3

Answer 1

$1)\; \; \overline {AP}=\frac{1}{2}\cdot (\overline {AC}+\overline {AD})=\frac{1}{2}\cdot (\overline {AB}+\overline {AD}+\overline {AD})=\frac{1}{2}\cdot (\vec{a}+2\vec{b})\; ;\\\\\overline {MN}=\overline {AN}-\overline {AM}=\frac{3}{4}\cdot  \overline {AD}-(\overline {AB}+\overline {BM})=\frac{3}{4}\cdot \vec{b}-(\vec{a}+\frac{1}{5}\cdot  \overline {BC})=\\\\=\frac{3}{4}\cdot \vec{b}-\vec{a}-\frac{1}{5}\cdot \vec{b}=\frac{11}{20}\cdot \vec{b}-\vec{a}\; ;$

$2)\; \; |\vec{t}|=1\; ,\; \; |\vec{s}|=2\; ,\; \; \angle (\vec{t},\vec{s})=\frac{2\pi}{3}=120^\circ \; ;\\\\\overline {AC}=\overline {AB}+\overline {AD}=2\vec{t}-3\vec{s}+\vec{t}+4\vec{s}=3\vec{t}+\vec{s}\; ;\\\\180^\circ -\angle (\vec{t},\vec{s})=180^\circ-120^\circ =60^\circ \; \; ,\; \; |3\vec{t}|=3\cdot 1=3\\\\|\overline {AC}|^2=3^2+2^2-2\cdot 3\cdot 2\cdot cos60^\circ =13-12\cdot \frac{1}{2}=13-6=7\\\\|\overline {AC}|=\sqrt7$