Question

Раз 5 перерешал и никак не пришёл к нормальному ответу. y=[ln(x+3)]^x, y′(−3+e)=?

Answer 1

Чтобы нормально найти производную, нужно прологарифмировать исходное равенство:

$y=\ln^x(x+3)\\\ln y=x\ln \ln (x+3)$

Вот этого дела уже берём производную, как от функции заданной неявно:

$(\ln y)'=(x\ln \ln (x+3))'\\\frac{y'}{y} =\ln \ln (x+3)+\frac{x}{(x+3)\ln (x+3)} \\y'=y(\ln \ln (x+3)+\frac{x}{(x+3)\ln (x+3)})\\y'=[\ln^x(x+3)](\ln \ln (x+3)+\frac{x}{(x+3)\ln (x+3)})\\y'(e-3)=1^x(\ln \ln e +\frac{e-3}{e\ln e} )=\frac{e-3}{e}$