Question

Помогите, пожалуйста, решить. Только распишите все подробно.

Answer 1

$\lim\limits_{x\to 1}} \dfrac{x^3+x^2-5x+3}{x^3-x^2-x+1} =\dfrac{1^3+1^2-5\cdot1+3}{1^3-1^2-1+1} =\left[\dfrac{0}{0} \right]$

Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители:

$x^3+x^2-5x+3=x^3-x^2+2x^2-2x-3x+3=\\=x^2(x-1)+2x(x-1)-3(x-1)=(x-1)(x^2+2x-3)=\\=(x-1)(x^2-x+3x-3)=(x-1)(x(x-1)+3(x-1))=\\=(x-1)(x-1)(x+3)=(x-1)^2(x+3)$

$x^3-x^2-x+1=x^2(x-1)-(x-1)=(x-1)(x^2-1)=\\=(x-1)(x-1)(x+1)=(x-1)^2(x+1)$

$\lim\limits_{x\to 1}} \dfrac{x^3+x^2-5x+3}{x^3-x^2-x+1} =\lim\limits_{x\to 1}} \dfrac{(x-1)^2(x+3)}{(x-1)^2(x+1)} =\lim\limits_{x\to 1}} \dfrac{x+3}{x+1}=\dfrac{1+3}{1+1} =\dfrac{4}{2} =2$