Question

Пользуясь свойствами скалярного и векторного произведений, вычислить
угол между векторами a и b и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах, угол между векторами p и q равен α.
α=2π\3
Вектор a = 4 p + 2 q
Вектор b = 3p - q
Вектор |p|=1
Вектор |q|=1

Answer 1

Дано:

∠(p, q) = 2π/3; |p| = 1; |q| = 1

a = 4p + 2q

b = 3p - q

Найти:

∠(a; b) - ?; S - ?

Решение:

Найдем скалярное произведение векторов p и q:

p · q = cos 2π/3 = -0,5

Скалярное произведение векторов a и b:

a · b = (4p + 2q) · (3p - q) = 12p² - 4pq + 6qp - 2q² = 12 - 2 + 2pq = 10 - 1 = 10 - 1 = 9

|a|² =  (4p + 2q)² = 16 + 4 + 16pq = 20 - 8 = 12

|b|² = (3p - q)² = 9 + 1 - 6pq = 10 + 3 = 13

$\cos\angle(\vec{a},\vec{b})=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec{a}||\vec b|}=\dfrac{9}{\sqrt{12}\sqrt 13} =\dfrac{9}{2\sqrt{39}}\approx0,72\Rightarrow\angle(\vec{a},\vec{b})\approx43,9^\circ(0,77^r)$

$\sin^2\angle(\vec{a},\vec{b})=1-\cos^2\angle(\vec{a},\vec{b})=1-\dfrac{81}{12\cdot13} =1-\dfrac{27}{52}=\dfrac{25} {52}\Rightarrow\sin\angle(\vec{a},\vec{b})=\dfrac{5}{\sqrt {52}}$

S = |a × b| = |a|·|b| · sin∠(a, b) = √12·√13 · 5 / √52 = 5√3 ≈ 8,7