Question

Помогите, пожалуйста, вычислить предел. Распишите, пожалуйста, все очень подробно.

Answer 1

Поскольку тут неопределённость $1^\infty$, то нужно воспользоваться вторым замечательным пределом

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigg(\frac{n^2+5n+1+5-8n}{n^2+5n+1}\bigg)^{n/2}=\\ \\ =\lim_{n \to \infty}\bigg(1+\frac{5-8n}{n^2+5n+1}\bigg)^\big{0.5n\cdot\frac{5-8n}{n^2+5n+1}\cdot\frac{n^2+5n+1}{5-8n}}=\\ \\ \\e^\big{\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{0.5n(5-8n)}{n^2+5n+1}}=e^\big{\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{0.5(\frac{5}{n}-8)}{1+\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2}}}=e^\big{\dfrac{0.5(0-8)}{1+0+0}}=e^{-4}$

Answer 2

Тут неопределенность бесконечность на бесконечность.

Если поделим на n^2 то получим неопределенность вида 1  в степени беск

$\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n=e$

$\lim_{n \to 0} (1+n)^{\frac{1}{n} }=e$

Поработаем с тем что внутри без степени

Поделим и числитель и знаменатель на n^2

$\frac{1-\frac{3}{n}+\frac{6}{n^2} }{1+\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2}}$

Теперь у нас неопределенность 1 в степени беск, это уже лучше, теперь тут 100% второй зам предел

Но нам же нужна единица. Так добавим и вычтем ее.

Так как мне нравится (2) вид заметельного предела, то сделаем замену на

$t=\frac{1}{n}$,  t  стремится к 0 при n  стремится к беск

$1+\frac{1-3t+6t^2}{1+5t+t^2} -1=1+\frac{-8t+5t^2}{1+5t+t^2}$

Теперь нам нужно сделать такую же степень  и в примере 2 зам предела

$\lim_{t \to 0} ((1+\frac{5t^2-8t}{t^2+5t+1})^((\frac{t^2+5t+1}{5t^2-8t} ) )(\frac{5t^2-8t}{t^2+5t+1})(\frac{1}{2t} ) )$

$((\frac{t^2+5t+1}{5t^2-8t} ) )(\frac{5t^2-8t}{t^2+5t+1})(\frac{1}{2t} ) )$ - это степень

Сосчитаем предел степени

$\lim_{t \to 0} (\frac{5t^2-8t}{t^2+5t+1})\frac{1}{2t}= -4$

Ответ: $e^{-4}$