Question

50 баллов!!! Пожалуйста!!!! При каких целых m неравенство
|x + 1| + |x − 2| − |x − 3| < m
имеет ровно 2017 натуральных решений? Если таких m несколько,
то в ответе запишите их сумму.

Answer 1

Построим график функции $f(x)=|x+1|+|x-2|-|x-3|$ для положительных x. Для этого раскроем модули для разных значений x:

При 0 < x ≤ 2 $f(x)=x$

При 2 < x ≤ 3 $f(x)=3x-4$

При x > 3 $f(x)=x+2$

Заметим, что при m = 6 имеется 3 натуральных решения. Если увеличить m на 1, то и количество решений возрастёт на 1. Тогда при m = 6 + k число решений будет 3 + k. 2017 = 3 + k ⇒ k = 2014 ⇒ m = 6 + 2014 = 2020.

Ответ: 2020