Question

Помогите вычислить пределы

Answer 1

1)

$\lim\limits_{n \to \infty} (\frac{5}{6} + \frac{13}{36} + \cdots + \frac{3^n + 2^n}{6^n}) = \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i = 1}^{n} \frac{3^i + 2^i}{6^i} = \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i = 1}^{n} (\frac{1}{2})^i + \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i = 1}^{n} (\frac{1}{3})^i = \sum\limits_{i = 1}^{\infty} (\frac{1}{2})^i + \sum\limits_{i = 1}^{\infty} (\frac{1}{3})^i$

Получились две суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Тогда имеем:

$\sum\limits_{i = 1}^{\infty} (\frac{1}{2})^i + \sum\limits_{i = 1}^{\infty} (\frac{1}{3})^i = \frac{1}{2} * \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} + \frac{1}{3} * \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

2)

$\lim\limits_{n \to \infty} (\frac{n^3 + 1}{n^3 - 1})^{2n - n^3} = \lim\limits_{n \to \infty} ({1 + \frac{2}{n^3 - 1}})^{2n - n^3} = \lim\limits_{n \to \infty} e^{\frac{2n - n^3}{2(n^3 - 1)}} = e^{-2}$

3)

$\lim\limits_{n \to \infty} (\frac{\sqrt{n^6 + 4} + \sqrt{n - 4}}{\sqrt[5]{n^6 + 6} - \sqrt{n-6}}) = \lim\limits_{n \to \infty} (\frac{n^6 - n}{\sqrt[5]{n^6 + 6}*\sqrt{n^6 + 4} - \sqrt{n-6}*\sqrt{n^6 + 4} - \sqrt[5]{n^6 + 6} * \sqrt{n - 4} + \sqrt{n - 4} * \sqrt{n-6}}) = \infty$, ведь степень верхнего многочлена $6$, а нижнего $\frac{18}{5}$