Question

С решение, пожалуйста))
Найти наибольшее и наименьшее среди значений параметра а, при которых неравенство 3а+1/4-ах+а^2х^2<=(больше либо равно) 0 выполняется при всех х из отрезка [-1;0].

Answer 1

Рассмотрим функцию $f(x)=a^2x^2-ax+3a+\frac{1}{4}$

1. a = 0. График - прямая линия. $f(x)\leq 0 \Rightarrow \frac{1}{4}\leq 0 \Rightarrow x\in\varnothing$. Значение параметра не подходит.

2. a ≠ 0. График - парабола, ветви направлены вверх, $x_{0}=\frac{1}{2a}$.

Если $x_{0}\geq 0 \Rightarrow a>0$, то $f(-1)\leq 0 \Rightarrow a^2+4a+\frac{1}{4}\leq 0 \Rightarrow a\in[\frac{-4-\sqrt{15}}{2}; \frac{-4+\sqrt{15}}{2}]\Rightarrow a\in\varnothing$

Если $x_{0}\leq-1\Rightarrow \frac{1}{2a}\leq -1 \Leftrightarrow \frac{2a+1}{a}\leq 0 \Rightarrow a\in[-\frac{1}{2}; 0)$, то $f(0)\leq 0 \Rightarrow 3a+\frac{1}{4}\leq0 \Leftrightarrow a \leq -\frac{1}{12} \Rightarrow a\in[-\frac{1}{2}; -\frac{1}{12}]$

Если $-1\leq x_{0}\leq 0 \Rightarrow \left \{ {{\frac{1}{2a}\leq0} \atop {\frac{1}{2a}\geq-1}} \right.\left \{ {{a<0} \atop {a\leq-\frac{1}{2}, a>0}} \right. \Rightarrow a\leq-\frac{1}{2}$, то $\left \{ {{f(0)\leq0} \atop {f(-1)\leq0}} \right. \left \{ {{a\in(-\infty; -\frac{1}{12}]} \atop {a\in[\frac{-4-\sqrt{15}}{2}; \frac{-4+\sqrt{15}}{2}]}} \right. \Rightarrow a\in[\frac{-4-\sqrt{15}}{2}; -\frac{1}{12}] \Rightarrow a\in[\frac{-4-\sqrt{15}}{2}; -\frac{1}{2}]$

Тогда $a\in[\frac{-4-\sqrt{15}}{2}; -\frac{1}{12}]$

Ответ: наименьшее $a = \frac{-4-\sqrt{15}}{2}$, наибольшее $a = -\frac{1}{12}$