Question

Найдите все значения параметра a, такие, что уравнение $x^2-4ax+5a=0$ имеет два действительных корня, сумма квадратов которых равна 6.

Answer 1

Два действительных корня, значит x₁≠x₂ и 16a²-20a>0;

4a²-5a>0;

a(4a-5)>0;

нули функции 0; 4a>5; a>1,25;

  +       -            +

___0___1,25___

-∞<a; a>1,25;

сумма квадратов которых равна 6: x₁²+x₂²=6; (1)

По теореме Виетта:

x₁+x₂=-p=4a;(2)

x₁x₂=q=5a;(3)

Эти три уравнения составляют систему.

сложим (2) и дважды (3).

Возведем в квадрат (2)

(x₁+x₂)²=(4a)²;

x₁²+2x₁x₂+x₂²=16a²; отнимем дважды (3);

x₁²+2x₁x₂+x₂²-2x₁x₂=16a²-2*5a;

x₁²+x₂²=16a²-10a; подставим вместо левой части уравнение (1).

6=16a²-10a; разделим на 2;

8a²-5a-3=0;

D=25+4*8*3=121;

a₁=(5+11)/16=1;∅, по ОДЗ a.

a₂=(5-11)/16=-3/8;

Проверка:

x²+1,5x-1,875=0;

8x²+12x-15=0;

D=144+4*8*15=624=16*39;

x₁=(-12+4√39)/16=-0,75+0,25√39;

x₂=(-12-4√39)/16=-0,75-0,25√39;

Подставим в формулы (2) и (3):

x₁+x₂=4a; -0,75+0,25√39-0,75-0,25√39=-4*3/8; -1,5=-1,5;

x₁x₂=5a; (-0,75+0,25√39)(-0,75-0,25√39)=-5*3/8;

0,75²-(0,25√39)²=-15/8;

0,5625-0,0625*39=-1,875;

-1,875=-1,875;

Ответ: a=-3/8;

Answer 2

$x^2-4ax+5a=0\\\\D=16a^2-4*1*5a=16a^2-20a=4a(4a-5)\\\\\sqrt{D}=\sqrt{4a(4a-5)}=2\sqrt{a(4a-5)}\\\\\\\\ODZ:a(4a-5)>0=>a<0;a>1,25\\\\x_1=\frac{4a-2\sqrt{a(4a-5)}}{2}\\\\x_1=2a-\sqrt{a(4a-5)$

$x_2=2a+\sqrt{a(4a-5)$

$x_1^2+x_2^2=(2a-\sqrt{a(4a-5)})^2+(2a+\sqrt{a(4a-5)})^2=\\\\=4a^2-2*2a\sqrt{a(4a-5)}+(\sqrt{a(4a-5})^2+4a^2+2*2a\sqrt{a(4a-5)}+(\sqrt{a(4a-5})^2=\\\\=8a^2+2*(a(4a-5))=8a^2+8a^2-10a=16a^2-10a\\\\\\2)\\\\x_1^2+x_2^2=6\\\\16a^2-10a=6\\\\16a^2-10a-6=0\\\\8a^2-5a-3=0\\\\D=25-4*8*(-3)=25+96=121=11^2\\\\a_1=\frac{5-11}{2*8}=\frac{-6}{16}=-\frac{3}{8}=-0,375\\\\a_2=\frac{5+11}{2*8}=\frac{16}{16}=1$

$a_1=-0,375(=ODZ:x<0)\\\\a_2=1(ODZ:x>1,25)\\\\\\Otvet:a=-0,375$