Question

Даны положительные числа a>b. Можно ли утверждать, что $\sqrt{a+\sqrt[4]{b}}\ \textgreater \ \sqrt{b+\sqrt[4]{a}$

Answer 1

Возводим в квадрат обе части неравенства, получим

$\sf a+\sqrt[\sf 4]{\sf b}>b+\sqrt[\sf 4]{\sf a}~~~\Rightarrow~~~ a-b>\sqrt[\sf 4]{\sf a}-\sqrt[\sf 4]{\sf b}$

Для $\sf a-b=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=\left(\sqrt[\sf 4]{\sf a}-\sqrt[\sf 4]{\sf b}\right)\left(\sqrt[\sf 4]{\sf a}+\sqrt[\sf 4]{\sf b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)$. Тогда

$\left(\sqrt[\sf 4]{\sf a}-\sqrt[\sf 4]{\sf b}\right)\left(\sqrt[\sf 4]{\sf a}+\sqrt[\sf 4]{\sf b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)>\sqrt[\sf 4]{\sf a}-\sqrt[\sf 4]{\sf b}$

Так как a>b, то, умножив левую и правую части последнего неравенства на $\sf \dfrac{1}{\sqrt[\sf 4]{\sf a}-\sqrt[\sf 4]{\sf b}}$, получим

$\sf \left(\sqrt[\sf 4]{\sf a}+\sqrt[\sf 4]{\sf b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)>1$ - верно для достаточно больших a и b. Для малых a,b неравенство не выполняется, следовательно, утверждать нельзя.

Ответ: нет.