Question

Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию: $y`-(e^{-x}) * y = 2x \\y(0) = 1.$

Answer 1

Разложение нужного решения в ряд Маклорена имеет вид

$y(x)=y(0)+\frac{y'(0)x}{1!} +\frac{y''(0)x^2}{2!} +\frac{y'''(0)x^3}{3!} +...+\frac{y^{(n)}(0)}{n!} +...$

Будем вычислять значения y'(0), y''(0), y'''(0), ...  пока не получим три ненулевых значения.

$y'=2x+e^{-x}y\\y'(0)=2*0+e^{-0}*1=1 \neq 0\\y''=(y')'=2-e^{-x}y+e^{-x}y'\\y''(0)=2-e^{-0}*1+e^{-0}*1=2 \neq 0\\y'''=(y'')'=-(-e^{-x}y+e^{-x}y')-e^{-x}y'+e^{-x}y''=e^{-x}(y''-2y'+y)\\y'''(0)=e^{-0}(2-2*1+1)=1 \neq 0$

С этим всё. Теперь подставим значения в первую формулу и после преобразований получим окончательный результат:

$y(x)=1+x+x^2+\frac{x^3}{6}$