Question

Непосредственным интегрированием найти следующие неопределенные интегралы:

Answer 1

$1)\; \; \int \frac{(1-4\sqrt[4]{x^3})^2}{\sqrt{x}}\, dx=\int \frac{1-8\sqrt[4]{x^3}+16\sqrt{x^3}}{\sqrt{x}}\, dx=\int \Big (\frac{1}{\sqrt{x}}-8x^{1/4}+16\cdot x\Big )dx=\\\\=2\sqrt{x}-8\cdot \frac{4x^{5/4}}{5}+16\cdot \frac{x^2}{2}+C=2\sqrt{x}-\frac{32}{5}\cdot \sqrt[4]{x^5}+8x^2+C\; ;\\\\2)\; \; \int \frac{x^3+6x^2+12x+8}{x^2+4x+4}\, dx=\int \frac{(x+2)^3}{(x+2)^2}\, dx=\int (x+2)\, dx=\frac{x^2}{2}+x+C\; ;$

$3)\; \; \int \Big (\frac{9+4x^2x}{12+4x^2}\Big )^{-1}\, dx=\int \frac{4x^2+12}{4x^2+9}\, dx=\int \frac{(4x^2+9)+3}{4x^2+9}\, dx=\\\\=\int \Big (1+\frac{3}{4x^2+9}\Big )dx=\int \, dx+\frac{3}{2}\cdot \int \frac{2\cdot dx}{(2x)^2+3^2}=x+\frac{3}{2}\cdot \int \frac{d(2x)}{(2x)^2+3^2}=\\\\=x+\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot arctg\frac{2x}{3}+C=x+\frac{1}{2}\cdot arctg\frac{2x}{3}+C\; .$

Замечание:  можно   $\int (x+2)dx=\frac{(x+2)^2}{2}+C\; .$