Question

2x^4+5x^3-5x^2-13x-4=0 решите уравнение методом неопределенных коэффициентов

Answer 1

Многочлен в левой части можно разложить на множители:

$2x^4+5x^3-5x^2-13x-4=(Ax^2+Bx+C)(Dx^2+Ex+F)$, где A, ..., F - некоторые целые коэффициенты. Раскроем скобки в правой части:

$2x^4+5x^3-5x^2-13x-4=ADx^4+(AE+BD)x^3+(AF+EB+CD)x^2+(BF+EC)x+CF$

Многочлены равны, когда равны коэффициенты при соотвествующих степенях x. Составим систему уравнений (знак системы не пишу):

AD=2

AE+BD=5

AF+EB+CD=-5

BF+EC=-13

CF=-4

6 неизвестных и всего 5 уравнений - не айс. Но нас спасёт то, что A, ..., F - целые числа.

Взглянем на первое и последнее уравнение. Имеем 4 различных варианта значений A, D, C, F. Начинаем рассматривать, по порядку, когда найдем хотя бы одно решение системы, то все будет круто и дальше можно будет не продолжать:

A=1, D=2, C=1, F=-4:

E+2B=5

EB=-3

-4B+E=-13

Не забываем о том, что коэффициенты целые и быстро заключаем, что решением являются числа B=3, E=-1. Вот так повезло, с первого раза нашли подходящую систему. Итак

A=1, B=3, C=1, D=2, E=-1, F=-4

Тогда

$2x^4+5x^3-5x^2-13x-4=(x^2+3x+1)(2x^2-x-4)$

Уравнение принимает вид:

$(x^2+3x+1)(2x^2-x-4)=0$

Дальше решит даже первоклассник

$x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{5}} {2} \\x_{2,3}=\frac{1\pm\sqrt{33} }{4}$