Question

Пожалуйста, решите уравнение. 40 баллов!

Дифференциальное уравнение первого порядка:

y'+(2y)/x=(e^(-x^2))/x

Answer 1

$\displaystyle y'+\frac{2y}{x}=\frac{e^{-x^2}}{x}|*x\\xy'+2y=e^{-x^2}\\y=uv;y'=u'v+v'u\\xu'v+xv'u+2uv=e^{-x^2}\\xu'v+u(xv'+2v)=e^{-x^2}\\\frac{xdv}{dx}+2v=0|*\frac{dx}{xv}\\\int\frac{dv}{v}=-2\int\frac{dx}{x}\\ln|v|=-2ln|x|\\v=\frac{1}{x^2}\\\frac{du}{xdx}=e^{-x^2}|*xdx\\du=xe^{-x^2}dx\\\int du=-\frac{1}{2}\int e^{-x^2}d(-x^2)\\u=-\frac{1}{2}e^{-x^2}+C\\y=\frac{1}{x^2}(-\frac{e^{-x^2}}{2}+C)$