Question

Вычислить предел с помощью правила Лопиталя

Answer 1

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x\arcsin x^2}{x\cos x-\sin x}=\bigg\{\frac{0}{0}\bigg\}=\lim_{x \to 0}\frac{(x\arcsin x^2)'}{(x\cos x-\sin x)'}=\\ \\ \\ =\lim_{x \to 0}\frac{\arcsin x^2+\dfrac{x}{\sqrt{1-x^4}}\cdot2x}{\cos x-x\sin x-\cos x}=-\lim_{x \to 0}\frac{\arcsin x^2}{x\sin x}-\lim_{x \to 0}\frac{2x}{\sin x\sqrt{1-x^4}}=\\ \\ \\ =-\lim_{x \to 0}\frac{(\arcsin x^2)'}{(x\sin x)'}-\lim_{x \to 0}\frac{(2x)'}{(\sin x)'}=-\lim_{x \to 0}\frac{\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}}{\sin x+x\cos x}-\lim_{x \to 0}\frac{2}{\cos x}=$

$\displaystyle =-\lim_{x \to 0}\frac{(2x)'}{(\sin x+x\cos x)'}-2=-2-\lim_{x \to 0}\frac{2}{\cos x+\cos x-x\sin x}=\\ \\ \\ =-2-\lim_{x \to 0}\frac{2}{2\cos x-x\sin x}=-2-\frac{2}{2\cdot1-0}=-2-1=-3$

Ответ: -3.