Question

Найти предел по 2 замечательному пределу:
$\lim_{x \to \infty} (sin\frac{1}{x}+cos\frac{1}{x})^{x}$

Answer 1

Сделаем замену на

$t=\frac{1}{x}$

t  стремится к 0 при 1/x  стремящимся к +беск

Сделаем там скажем хитрый прием

$\lim_{t \to 0} (((1+(sint+cost-1))^{\frac{1}{sint+cost-1}} )^{\frac{sint+cost-1}{t}})$

Получили 2 зам предел

Воспользуемся эквивалентностями, т.к t  стремится к нулю

$e^{\frac{t+o(t)+1+t^2/2+o(t^2)-1}{t} }$

Если поделим все на t, то получаем

$e^{1}=e$

Answer 2

Ловите пошагово. Помимо второго замечательного предела, для раскрытия неопределённостей требуется применения на промежуточных стадиях правила Лопиталя и сведение к первому замечательному пределу.

Удачи!