Question

Решите систему неравенств

-x^2+3x+12≥4x+10

x^2+9x+41>6-3x

Answer 1

$\left\{\begin{matrix}-x^{2}+3x+12\geq4x+10\\x^{2}+9x+41>6-3x\end{matrix}\right.$

Решим каждое неравенство по отдельности, а затем просто найдем пересечение.

Первое:

$-x^{2}+3x+12\geq4x+10\\-x^{2}+3x+12-4x-10\geq0\\-x^{2}-x+2\geq0\\-x^{2}+x-2x+2\geq0\\-x(x-1)-2(x-1)\geq0\\-(x-1)(x+2)\geq0\\\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}-(x-1)\geq0\\ x+2\geq0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}-x(x-1)\leq0\\x+2\leq0\end{matrix}\right.\end{matrix}\\\\\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x\leq1\\x\geq-2\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x\geq1\\ x\leq-2\end{matrix}\right.\end{matrix}$

$\begin{bmatrix}x\in[-2;1]\\ x\in\O\end{matrix}\\x\in[-2;1]$

Второе:

$x^{2}+9x+41>6-3x\\x^{2}+9x+41-6+3x>0\\x^{2}+12x+35>0\\x^{2}+7x+5x+35>0\\x(x+7)+5(x+7)>0\\(x+7)(x+5)>0\\\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x+7>0\\x+5>0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x+7<0\\x+5<0\end{matrix}\right.\end{matrix}\\\\\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x>-7\\x>-5\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x<-7\\x<-5\end{matrix}\right.\end{matrix}\\\\\begin{bmatrix}x\in(-5;\infty)\\x\in(-\infty;-7)\end{matrix}\\x\in(-\infty;-7)\cup(-5;+\infty)$

Теперь найдем пересечение этих решений:

$\left\{\begin{matrix}-x^{2}+3x+12\geq4x+10\\x^{2}+9x+41>6-3x\end{matrix}\right.\\\\\left\{\begin{matrix}x\in[-2;1]\\x\in(-\infty;-7)\cup(-5;+\infty)\end{matrix}\right.\\x\in[-2;1]$