Question

Выпишите уравнение нормали к графику функции в точке с абсциссой а)х₀=1 ; б)х₀=-2 ; в)х₀=0
1) f(x)=cosx
2) f(x)=cosx-sinx

Answer 1

Уравнение нормали:

$y_n=f(x_0)-\dfrac{1}{f'(x_0)} (x-x_0)$

1)

$f(x)=\cos x\\f'(x)=-\sin x$

а)

$x_0=1\\f(x_0)=f(1)=\cos1\\f'(x_0)=f'(1)=-\sin1$

$y_n=\cos1-\dfrac{1}{-\sin1} (x-1)=\cos1+\dfrac{x}{\sin1} -\dfrac{1}{\sin1}\\\\y_n=\dfrac{x}{\sin1}+\cos1-\dfrac{1}{\sin1}$

б)

$x_0=-2\\f(x_0)=f(-2)=\cos(-2)=\cos2\\f'(x_0)=f'(-2)=-\sin(-2)=\sin2$

$y_n=\cos2-\dfrac{1}{\sin2} (x+2)=\cos2-\dfrac{x}{\sin2} -\dfrac{2}{\sin2}\\\\y_n=-\dfrac{x}{\sin2}+\cos2-\dfrac{2}{\sin2}$

в)

$x_0=0\\f(x_0)=f(0)=\cos0=1\\f'(x_0)=f'(0)=-\sin0=0$

Учитывая нулевую производную, нормаль будет представлять собой прямую, параллельную оси у.

$x=0$

2)

$f(x)=\cos x-\sin x\\f'(x)=-\sin x-\cos x$

а)

$x_0=1\\f(x_0)=f(1)=\cos 1-\sin 1\\f'(x_0)=f'(1)=-\sin 1-\cos 1$

$y_n=\cos 1-\sin 1-\dfrac{1}{-\sin 1-\cos 1} (x-1)=\\\\=\cos 1-\sin 1+\dfrac{x}{\sin 1+\cos 1} -\dfrac{1}{\sin 1+\cos 1}=\\\\=\dfrac{x}{\sin 1+\cos 1}+\cos 1-\sin 1 -\dfrac{1}{\sin 1+\cos 1}=\\\\=\dfrac{x}{\sin 1+\cos 1}-\dfrac{1-\cos^21+\sin^21}{\sin 1+\cos 1}=\dfrac{x}{\sin 1+\cos 1}-\dfrac{\sin^21+\sin^21}{\sin 1+\cos 1}\\\\y_n=\dfrac{x}{\sin 1+\cos 1}-\dfrac{2\sin^21}{\sin 1+\cos 1}$

б)

$x_0=-2\\f(x_0)=f(-2)=\cos (-2)-\sin (-2)=\cos2+\sin2\\f'(x_0)=f'(-2)=-\sin (-2)-\cos (-2)=\sin 2-\cos 2$

$y_n=\cos 2+\sin 2-\dfrac{1}{\sin 2-\cos 2} (x+2)=\\\\=\cos 2+\sin 2-\dfrac{x}{\sin 2-\cos 2} -\dfrac{2}{\sin 2-\cos 2}=\\\\=\dfrac{x}{\cos 2-\sin 2}+\cos 2+\sin 2+\dfrac{2}{\cos 2-\sin 2}=\\\\=\dfrac{x}{\cos 2-\sin 2}+\dfrac{\cos^22-\sin^22+2}{\cos 2-\sin 2}\\\\y_n=\dfrac{x}{\cos 2-\sin 2}+\dfrac{\cos4+2}{\cos 2-\sin 2}$

в)

$x_0=0\\f(x_0)=f(0)=\cos 0-\sin0=1-0=1\\f'(x_0)=f'(0)=-\sin0-\cos 0=-0-1=-1$

$y_n=1-\dfrac{1}{-1} (x-0)\\\\y_n=x+1$