Question

Очень нужна помощь!!! Нужно решить задачу по рисунку

Answer 1

• SC перпендикулярен ( АВС )
Если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
SC перпендикулярен CD
SC перпендикулярен CD
Отсюда, тр. SCD и SCB - прямоугольные.
• Также SC перпендикулярен АС =>
тр. SCA - прямоугольный
• Рассмотрим тр. АDC:
По теореме косинусов:
АС^2 = АD^2 + DC^2 - 2 • AD • DC • cos150°
AC^2 = 32^2 + 10^2 - 2 • 32 • 10 • ( - \/3 / 2 )
AC^2 = 1024 + 100 + 320\/3
AC^2 = 1124 + 320\/3
AC =
$= \sqrt{1124 + 320 \sqrt{3} } = 2 \sqrt{281 + 80 \sqrt{3} }$
• Рассмотрим тр. SCA (угол SCA = 90°):
По теореме Пифагора:
АS^2 = AC^2 + SC^2
AS^2 = 1124 + 320\/3 + 144 = 1268 + 320\/3
AS =
$= \sqrt{1268 + 320 \sqrt{3} } = 2 \sqrt{317 + 80 \sqrt{3} }$
• Рассмотрим тр. SCD (угол SCD = 90°):
По теореме Пифагора:
SD^2 = CD^2 + SC^2
SD^2 = 12^2 + 10^2
SD^2 = 144 + 100 = 244
SD = 2\/61
• Рассмотрим тр. SCB (угол SCB = 90°):
По теореме Пифагора:
ВS^2 = BC^2 + SC^2
BS^2 = 32^2 + 12^2
BS^2 = 1024 + 144 = 1168
BS = 4\/73
● Рассмотрим тр. АSD:
Данный треугольник произвольный, найдём её площадь следующим образом:
По теореме косинусов:
Распишу кратко:
АС^2 = АD^2 + CD^2 - 2 • AD • CD • cos АDC
1268 + 320\/3 = 1024 + 244 - 2 • 32 • 2\/61 • cos ADC
cos ADC =
$= - \frac{320 \sqrt{3} }{2 \times 32 \times 2 \sqrt{61} } = - \frac{5 \sqrt{3} }{2 \sqrt{61} }$
• Теперь найдём синус этого же угла через основное тригонометрическое тождество:

$sin \: \: adc = \sqrt{1 - \: {(cos \: \: adc)}^{2} } = \sqrt{1 - \frac{25 \times 3}{4 \times 61} } = \\ = \sqrt{ \frac{4 \times 61 - 25 \times 3}{4 \times 61} } = \sqrt{ \frac{169}{4 \times 61} } = \frac{13}{2 \sqrt{61} }$

• S adc = ( 1/2 ) • AD • CD • sin ADC =
$= \frac{1}{2} \times 32 \times 2 \sqrt{61} \times \frac{13}{2 \sqrt{61} } = \frac{1}{2} \times 32 \times 13 = \\ = 16 \times 13 = 208$

● Рассмотрим тр. АВS:
Найдем её площадь таким же способом.
По теомере косинусов:
АS^2 = AB^2 + BS^2 - 2 • AB • BS • cos ABS
1268 + 320\/3 = 1168 + 100 - 2 • 4\/73 • 10 • cos ABS
cos ABS =
$= - \frac{320 \sqrt{3} }{2 \times 4\sqrt{73} \times 10} = - \frac{4 \sqrt{3} }{ \sqrt{73} }$
• Теперь найдём синус этого же угла через основное тригонометрическое тождество:

$sin \: abs = \sqrt{1 - {(cos \: abs) }^{2} } = \sqrt{1 - \frac{16 \times 3}{73} } = \\ = \sqrt{ \frac{73 - 48}{73} } = \sqrt{ \frac{25}{75} } = \frac{5}{ \sqrt{73} }$

• S abs = ( 1/2 ) • AB • BS • sin ABS =
$= \frac{1}{2} \times 10 \times 4 \sqrt{73} \times \frac{5 }{ \sqrt{73} } = \frac{1}{2} \times 10 \times 4 \times 5 = \\ = 100$

• S scd = ( 1/2 ) • 12 • 10 = 60
• S scb = ( 1/2 ) • 12 • 32 = 192


● S пол.пов. = S scd + S scb + S abs + S ads = 60 + 192 + 100 + 208 = 560



ОТВЕТ: 560