Question

$\frac{(3x-15)(x+6)}{8-x} \geq 0$ и |x-7|-|2x+4|<5
Помогите пожалуйста, скоро контрольная, а я не понимаю

Answer 1

$\frac{(3x-15)(x+6)}{8-x}\geq0$

Найдем ОДЗ (Область допустимых значений). Т.к. на ноль делить нельзя, знаменатель не должен быть равен 0. Отсюда находим:

$8-x\neq0\Leftrightarrow x\neq8$

Дальше можно решить разными способами.

Решим методом интервалов (более удобен):

$(3x-15)(x+6)=0\\3x-15=0\\3x=15\\x=5\\x+6=0\\x=-6\\x_{1}=5;x_{2}=-6$

Отмечаем точки ОДЗ и решения на координатной прямой, находим знаки для каждого промежутка и находим решение неравенства (см. прикрепленный рисунок).

P.S. Незакрашенные точки значат, что это значение не входит в промежуток (обозначается круглой скобочкой), а закрашенные - наоборот (обозначается квадратной скобочкой).

$x\in(-\infty;-6]\cup[5;8)$

Решим с помощью правила расщепления:

Т.е. существуют два случая, при которых частное $\frac{a}{b}$ может быть ≥ 0 (Нужно использовать >, < вместо ≥, ≤ соответственно для знаменателя, поскольку он не может быть равен 0):

$\left\{\begin{matrix}a\geq0\\b>0\end{matrix}\right.$ или $\left\{\begin{matrix}a\leq0\\b<0\end{matrix}\right.$

Т.е. решением является совокупность (нас устраивает и то, и другое решение):

$\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}a\geq0\\b>0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a\leq0\\b<0\end{matrix}\right.\end{matrix}$

Зная это правило, решаем неравенство:

$\frac{(3x-15)(x+6)}{8-x}\geq0\\\frac{3(x-5)(x+6)}{8-x}\geq0$

$\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}3(x+6)(x-5)\geq0\\8-x>0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}3(x+6)(x-5)\leq0\\8-x<0\end{matrix}\right.\end{matrix}\\\\\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}(x+6)(x-5)\geq0\\-x>-8\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}(x+6)(x-5)\leq0\\-x<-8\end{matrix}\right.\end{matrix}\\\\\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}(x+6)(x-5)\geq0\\x<8\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}(x+6)(x-5)\leq0\\x>8\end{matrix}\right.\end{matrix}$

Решим, для удобства, неравенства отдельно.

Первое:

$(x+6)(x-5)\geq0$

Возможны два случая, когда произведение a × b может быть ≥ 0:

$\left\{\begin{matrix}a\geq0\\b\geq0\end{matrix}\right.$ или $\left\{\begin{matrix}a\leq0\\b\leq0\end{matrix}\right.$

Т.е. решением является совокупность (нас устраивает и то, и другое решение):

$\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x+6\geq0\\x-5\geq0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x+6\leq0\\x-5\leq0\end{matrix}\right.\end{matrix}\\\\\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x\geq-6\\x\geq5\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x\leq-6\\x\leq5\end{matrix}\right.\end{matrix}\\\\\begin{bmatrix}x\in[5;+\infty)\\x\in(-\infty;-6]\end{matrix}\\x\in(-\infty;-6]\cup[5;+\infty)$

Второе:

$(x+6)(x-5)\leq0$

Возможны два случая, когда произведение a × b может быть ≤ 0:

$\left\{\begin{matrix}a\leq0\\b\geq0\end{matrix}\right.$ или $\left\{\begin{matrix}a\geq0\\b\leq0\end{matrix}\right.$

Т.е. решением является совокупность (нас устраивает и то, и другое решение):

$\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x+6\leq0\\x-5\geq0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x+6\geq0\\x-5\leq0\end{matrix}\right.\end{matrix}\\\\\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x\leq-6\\x\geq5\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x\geq-6\\x\leq5\end{matrix}\right.\end{matrix}\\\\\begin{bmatrix}x\in\O\\x\in[-6;5]\end{matrix}\\x\in[-6;5]$

Вернемся к решению другой совокупности:

$\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}(x+6)(x-5)\geq0\\x<8\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}(x+6)(x-5)\leq0\\x>8\end{matrix}\right.\end{matrix}\\\\\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x\in(-\infty;-6]\cup[5;+\infty)\\x\in(-\infty;8)\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x\in[-6;5]\\x\in(8;+\infty)\end{matrix}\right.\end{matrix}\\\\\begin{bmatrix}x\in(-\infty;-6]\cup[5;8)\\x\in\O\end{matrix}\\\\x\in(-\infty;-6]\cup[5;8)$

Учитывая ОДЗ, найдем решение:

$\left\{\begin{matrix}x\in(-\infty;-6]\cup[5;8)\\x\neq8\end{matrix}\right.\\x\in(-\infty;-6]\cup[5;8)$

Теперь решим другое неравенство.

$|x-7|-|2x+4|<5$

Зная, что $|x|=\left\{\begin{matrix}x,x\geq0\\-x,x<0\end{matrix}\right.$ разделим наше неравенство на 4 системы:

$\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}(x-7)-(2x+4)<5\\x-7\geq0\\2x+4\geq0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}-(x-7)-(2x+4)<5\\x-7<0\\2x+4\geq0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}(x-7)-(-(2x+4))<5\\x-7\geq0\\2x+4<0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}-(x-7)-(-(2x+4))<5\\x-7<0\\2x+4<0\end{matrix}\right.\end{matrix}$

$\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x>-16\\x\geq7\\x\geq-2\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x>-\frac{2}{3}\\x<7\\x\geq-2\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x<\frac{8}{3}\\x\geq7\\x<-2\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x<-6\\x<7\\x<-2\end{matrix}\right.\end{matrix}$

$\begin{bmatrix}x\in[7;+\infty)\\x\in(-\frac{2}{3};7)\\x\in\O\\x\in(-\infty;-6)\end{matrix}$

$x\in(-\infty;-6)\cup(-\frac{2}{3};+\infty)$