Question

Решите примеры Поставлю лучший ответ(Пожалуйста)

Answer 1

Номер 1.

$\sqrt[3]{x(x+6)}=x\\\sqrt[3]{x^{2}+6x}=x\\x^{2}+6x=x^{3}\\x^{2}+6x-x^{3}=0\\x(x+6-x^{2})=0\\x(-x^{2}+x+6)=0\\x(-x^{2}+3x-2x+6)=0\\x(-x(x-3)-2(x-3))=0\\x(-x-2)(x-3)=0\\x_{1}=0\\-x-2=0\\-x=2\\x_{2}=-2\\x-3=0\\x_{3}=3\\x_{1}=0,x_{2}=-2,x_{3}=3$

Номер 2.

$\sqrt{4x-3}=-4$

ОДЗ:

$4x-3\geq0\\4x\geq3\\x\geq0.75\\x\in[0.75;+\infty)$

Корень с четным показателем всегда положителен или равен 0 ⇒ x ∈ ∅

Номер 3.

$\sqrt{x^{2}-7}=3$

ОДЗ:

$x^{2}-7\geq0\\x^{2}\geq7\\|x|\geq\sqrt{7}\\x\in(-\infty;-\sqrt{7}]\cup[\sqrt{7};+\infty)$

$x^{2}-7=9\\x^{2}=9+7\\x^{2}=16\\x=\pm4$

Номер 4.

$\sqrt{x^{2}+9}=2x-3$

ОДЗ:

$x^{2}+9\geq0\\x^{2}\geq-9\\x\in R$

$x^{2}+9=(2x-3)^{2}\\x^{2}+9=4x^{2}-12x+9\\x^{2}=4x^{2}-12x\\x^{2}-4x^{2}+12x=0\\-3x^{2}+12x=0\\-3x(x-4)=0\\x(x-4)=0\\x_{1}=0\\x-4=0\\x_{2}=4\\x_{1}=0;x_{2}=4$

Номер 5.

$\sqrt{x^{2}+5x}+1>2x-1$

ОДЗ:

$x^{2}+5x\geq0\\x(x+5)\geq0$

Решаем совокупность систем [...

$\left\{\begin{matrix}x\geq0\\ x+5\geq0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x\leq0\\ x+5\leq0\end{matrix}\right.\\\\\left\{\begin{matrix}x\geq0\\ x\geq-5\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x\leq0\\ x\leq-5\end{matrix}\right.\\\\x\in[0;+\infty)\\x\in(-\infty;-5]$

ОДЗ: $x\in(-\infty;-5]\cup[0;+\infty)$

$\sqrt{x^{2}+5x}>2x-1-1\\\sqrt{x^{2}+5x}>2x-2$

Здесь возможны два случая:

$\sqrt{x^{2}+5x}>2x-2,2x-2\geq0\\\sqrt{x^{2}+5x}>2x-2,2x-2<0$

Решим относительно первого случая:

$\sqrt{x^{2}+5x}>2x-2\\x^{2}+5x>(2x-2)^{2}\\x^{2}+5x>4x^{2}-8x+4\\x^{2}+5x-4x^{2}+8x-4>0\\-3x^{2}+13x-4>0\\-3x^{2}+12x+x-4>0\\-3x(x-4)+(x-4)>0\\(x-4)(-3x+1)>0$

Решаем совокупность систем [...

$\left\{\begin{matrix}x-4>0\\ -3x+1>0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x-4<0\\ -3x+1<0\end{matrix}\right.\\\\\left\{\begin{matrix}x>4\\ x<\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x<4\\ x>\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\\\\x\in\O\\x\in(\frac{1}{3};4)\\\\x\in(\frac{1}{3};4)$

Учитывая, что 2x-2 ≥ 0, находим пересечение:

$\left\{\begin{matrix}x\in(\frac{1}{3};4)\\ 2x-2\geq0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x\in(\frac{1}{3};4)\\ x\geq1\end{matrix}\right.\\x\in[1;4)$

Решим относительно второго случая:

Поскольку левая часть всегда ≥ 0, утверждение верно для любого значения x ⇒ x ∈ R

Учитывая, что 2x-2 < 0, находим пересечение:

$\left\{\begin{matrix}x\in R\\ 2x-2<0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x\in R\\ x<1\end{matrix}\right.\\x\in(-\infty;1)$

Теперь находим объединение решения первого и второго случаев:

$x\in[1;4)\\ x\in(-\infty;1)\\\\x\in(-\infty;4)$

Учитывая ОДЗ, найдем пересечение (т.е. выведем окончательный ответ):

$\left\{\begin{matrix}x\in(-\infty;4)\\ x\in(-\infty;-5]\cup[0;+\infty)\end{matrix}\right.\\x\in(-\infty;-5]\cup[0;4)$