Question

Написать уравнение касательной и нормали к кривой x^3+y^2+2x-6 в точке с ординатой y0=3

Answer 1

Касательная - прямая, которая касается к кривой в точке (x₀;3), где x₀ - абсцисса касания. Подставим координаты точки касания в заданное уравнение кривой

$x_0^3+3^2+2x_0-6=0\\x_0^3+2x_0+3=0$

Путем подбора $x_0=-1$, уравнение имеет единственный корень, так как функция, соответствующая данному уравнению, является монотонной.

(-1;3) - точка касания касательной.

$\displaystyle \frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{\cfrac{\partial}{\partial x}\left(x^3+y^2+2x-6\right)}{\cfrac{\partial}{\partial y}\left(x^3+y^2+2x-6\right)}=-\frac{3x^2+2}{2y}$

Найдем теперь значение производной в точке (-1;3).

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}f(-1;3)=-\frac{3\cdot (-1)^2+2}{2\cdot 3}=-\frac{5}{6}$

Уравнение касательной к кривой:

$\displaystyle F(x)=y_0+y'(x_0)(x-x_0)=3-\frac{5}{6}\cdot \left(x+1\right)=\frac{-5x}{6}+\frac{13}{6}$

Уравнение нормали к кривой:

$\displaystyle F_n=y_0-\frac{x-x_0}{y'(x_0)}=3-\frac{x+1}{-\cfrac{5}{6}}=\frac{6x}{5}+\frac{21}{5}$