Question

Помогите, пожалуйста, с пределами.

Answer 1

$\lim\limits_{n\to +\infty}} \dfrac{\sqrt{(n^3+1)(n^2+3)}-\sqrt{n(n^4+2)}}{2\sqrt{n}}$

Для вычисления предела будем использовать равенство $\lim\limits_{n\to +\infty}} \dfrac{1}{n}=0$, которое обобщается на любую натуральную степень знаменателя: $\lim\limits_{n\to +\infty}} \dfrac{1}{n^k}=0$.

Преобразуем выражение под знаком предела (отдельно, чтобы было покороче, но можно переписывать цепочку и со знаком предела:

$\dfrac{\sqrt{(n^3+1)(n^2+3)}-\sqrt{n(n^4+2)}}{2\sqrt{n}}=\\\\=\dfrac{\left(\sqrt{(n^3+1)(n^2+3)}-\sqrt{n(n^4+2)}\right)\left(\sqrt{(n^3+1)(n^2+3)}+\sqrt{n(n^4+2)}\right)}{2\sqrt{n}\left(\sqrt{(n^3+1)(n^2+3)}+\sqrt{n(n^4+2)}\right)}=$

$= \dfrac{\left(\sqrt{(n^3+1)(n^2+3)}\right)^2-\left(\sqrt{n(n^4+2)}\right)^2}{2\left(\sqrt{n(n^3+1)(n^2+3)}+\sqrt{n^2(n^4+2)}\right)}=\\\\= \dfrac{(n^3+1)(n^2+3)-n(n^4+2)}{2\left(\sqrt{n(n^3+1)(n^2+3)}+\sqrt{n^2(n^4+2)}\right)}=\\\\= \dfrac{n^5+3n^3+n^2+3-n^5-2n}{2\left(\sqrt{n^6+3n^4+n^3+3n}+\sqrt{n^6+2n^2}\right)}=\\\\= \dfrac{3n^3+n^2-2n+3}{2\left(\sqrt{n^6+3n^4+n^3+3n}+\sqrt{n^6+2n^2}\right)}=$

$=\dfrac{\dfrac{1}{n^3} \left(3n^3+n^2-2n+3\right)}{2\cdot\dfrac{1}{n^3}\left(\sqrt{n^6+3n^4+n^3+3n}+\sqrt{n^6+2n^2}\right)}=\\\\=\dfrac{\dfrac{3n^3}{n^3}+\dfrac{n^2}{n^3}-\dfrac{2n}{n^3}+\dfrac{3}{n^3}}{2\left(\sqrt{\dfrac{n^6}{n^6}+\dfrac{3n^4}{n^6}+\dfrac{n^3}{n^6}+\dfrac{3n}{n^6}}+\sqrt{\dfrac{n^6}{n^6}+\dfrac{2n^2}{n^6}}\right)}=$

$=\dfrac{3+\dfrac{1}{n}-\dfrac{2}{n^2}+\dfrac{3}{n^3}}{2\left(\sqrt{1+\dfrac{3}{n^2}+\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{3}{n^5}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{n^4}}\right)}$

Вернемся к пределу:

$\lim\limits_{n\to +\infty}} \dfrac{\sqrt{(n^3+1)(n^2+3)}-\sqrt{n(n^4+2)}}{2\sqrt{n}}=\\=\lim\limits_{n\to +\infty}} \dfrac{3+\dfrac{1}{n}-\dfrac{2}{n^2}+\dfrac{3}{n^3}}{2\left(\sqrt{1+\dfrac{3}{n^2}+\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{3}{n^5}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{n^4}}\right)}=\\=\dfrac{3+0-0+0}{2\left(\sqrt{1+0+0+0}+\sqrt{1+0}\right)}=\dfrac{3}{2\left(\sqrt{1}+\sqrt{1}\right)}=\dfrac{3}{2\left(1+1\right)}=\dfrac{3}{4}$

$\lim\limits_{n\to +\infty}}\left(\dfrac{n^2-3n+6}{n^2+5n+1}\right)^{n/2}$

Будет использоваться второй замечательный предел $\lim\limits_{n\to +\infty}}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=e$

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:

$\dfrac{n^2-3n+6}{n^2+5n+1}=\dfrac{(n^2+5n+1)-5n-1-3n+6}{n^2+5n+1}=1+\dfrac{-8n+5}{n^2+5n+1}$

Предел примет вид:

$\lim\limits_{n\to +\infty}}\left(\dfrac{n^2-3n+6}{n^2+5n+1}\right)^{n/2}=\lim\limits_{n\to +\infty}}\left(1+\dfrac{-8n+5}{n^2+5n+1}\right)^{n/2}=\\\\=\lim\limits_{n\to +\infty}}\left(1+\dfrac{-8n+5}{n^2+5n+1}\right)^{\dfrac{n^2+5n+1}{-8n+5}\cdot\dfrac{-8n+5}{n^2+5n+1}\cdot\dfrac{n}{2} }=\\\\=\exp\left({\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{-8n+5}{n^2+5n+1}\cdot\dfrac{n}{2}}\right)=\exp\left({\dfrac{1}{2}\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{-8n^2+5n}{n^2+5n+1}}\right)=$

$=\exp\left({\dfrac{1}{2}\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{-\dfrac{8n^2}{n^2}+\dfrac{5n}{n^2}}{\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{5n}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}}}\right)=\exp\left({\dfrac{1}{2}\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{-8+\dfrac{5}{n}}{1+\dfrac{5}{n}+\dfrac{1}{n^2}}}\right)=\\\\=\exp\left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{-8+0}{1+0+0}\right)=\exp\left(\dfrac{1}{2}\cdot(-8)\right)=\exp\left(-4\right)=e^{-4}$

Аргумент функции exp есть показатель экспоненты: $\exp(x)=e^x$.