Question

Задача олимпиадного уровня.
На дошці написано натуральні числа від 1 до 10.
Дозволяється витирати будь які два числа х і у, а замість них записати на дошку числа х-1 і у+3.
Чи можна за декілька таких операцій отримати на дошці числа 2;3;4;...;9;10;2018?

Answer 1

Заметим, что после арифметических операций сумма чисел увеличивается на 2(x-1+y+3=x+y+2 ). Тогда вначале арифметических операций сумма была 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 - нечетное, т.е. после каждых арифметических операций сумма чисел будет нечетным, но исходная сумма чисел 2+3+4+...+10+2018 = 2078 - четно.

Получили противоречие.

Ответ: Нет.