Question

РЕШИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!

Answer 1

V=Vцилиндра+1/2Vсферы
Vц.=πr²h
1/2Vcф.=1/2*4/3πr³=2/3πr³
V=πr²h+2/3πr³=2880π
πr²h+2/3πr³=2880π

π(r²h+2/3r³)=2880π
r²h+2/3r³=2880
h=(2880-2/3r³)/r²

a)
Sп.п.=Sбок.цил.+Sосн.цил.+1/2Sсферы
Sб.ц.=2πr*h
Sо.ц.=πr²
1/2Sсф.=1/2*4πr²=2πr²
Sп.п.=2πrh+πr²+2πr²=2πrh+3πr²

из формулы объема h подставим в формулу площади

Sп.п.=
$2\pi \: r \times \frac{2880 - \frac{2}{3} {r}^{3} }{ {r}^{2} } + 3\pi \: r ^{2} = \\ = 5760\pi - \frac{4}{3} \pi {r }^{2} + 3\pi \: r {}^{2} = \\ = \frac{ 5760\pi}{r} + \frac{5}{3} \pi \: r {}^{2} = \\ = \frac{5\pi}{3r} (3456 + {r}^{3} )$
b)
найдем производную от площади S'=
$= - \frac{5760\pi}{ {r}^{2} } + \frac{10}{3} \pi \: r$
прироаняем к 0
$- \frac{5760\pi}{ {r}^{2} } + \frac{10}{3} \pi \: r = 0 \\ \frac{10\pi \: r}{3} = \frac{5760\pi}{r {}^{2} } \\ 10 {r}^{3} = 5760 \times 3 \\ r {}^{3} = 1728$
$r = \sqrt[3]{1728}$
это точка экстремума, в которой функция, в данном случае S, принимает максимальное или минимальное значение.
исследуем знак производной слева и справа от данной точки: r≈41,6, подставим в производную, например, r=1, получим S'<0, значит функция убывает; подставим r=50, получим S'>0, функция возрастает, то есть точка r - точка минимума и в этой точке S принимает наименьшее значение.

с другой стороны, если r=h, тогда
h=(2880-2/3r³)/r²=r
2880-2/3r³=r³
5/3r³=2880
r³=1728
$r = \sqrt[3]{1728}$
то есть при r=h, S принимает минимальное значение.