Question

Вычислите определённый интеграл методом интегрирования по частям

Answer 1

Найдем неопределенный интеграл
$\int {x}^{2} {e}^{x} dx = \int {x}^{2}d( {e}^{x} ) = \\ = {x}^{2} {e}^{x} - \int {e}^{x} {d({x}^{2} )} = \\ = {x}^{2} {e}^{x} -2 \int x{e}^{x} dx = \\ = {x}^{2} {e}^{x} - 2 \int x \: d( {e}^{x} ) = \\ = {x}^{2} {e}^{x} -2(x {e}^{x} - \int {e}^{x} dx) = \\ = {e}^{x} ( {x}^{2} - 2x + 2) + const$

$\binom{2}{1} \int {x}^{2} {e}^{x} dx = \\ = {e}^{x} ( {x}^{2} - 2x + 2) \binom{2}{1} = \\ = F(x) \binom{2}{1} = F(2) - F(1)$
$F(2) = {e}^{2} ( {2}^{2} - 2 \cdot 2 + 2) = \\ = 2 {e}^{2}$
$F(1) = {e}^{1} ( {1}^{2} - 2 \cdot 1 + 2) = \\ = {e}$

$\binom{2}{1} \int {x}^{2} {e}^{x} dx = 2 {e}^{2} - e$