Предмет: Геометрия, автор: Anya2350

Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон выпуклого четырехугольника, равны. Докажите, что диоганали этого четырехугольника перпендикулярны

Hrisula: Проверьте условие. Скорее всего, речь идет о диагоналях получившегося соединением середин противоположных сторон четырехугольника ( это будет ромб).

Anya2350: Простите но условие такое же как и дано в учебнике

Hrisula: На Знаниях есть решение этой задачи. https://znanija.com/task/2432513

Anya2350: Огромное вам спасибо, Вы меня очень выручили)

Hrisula: Невнимательно прочитала условие. В задаче все верно.

Ответы

Автор ответа: Hrisula

Пусть дан четырёхугольник АВСD. Точка К - середина АВ, т.М - середина ВС, N и Т - середины СD и DA соответсвенно. По условию КN=ТМ. Проведем диагонали АС и ВD. Соединим середины сторон треугольников АВС, ВСD, CDA и DAB. В треугольниках АВС и АDC средние линии параллельны и равны половине диагонали АС исходного четырехугольника.⇒ КМ параллельна и равна ТN. Аналогично доказывается КТ=МN. Противоположные стороны КМNТ параллельны и равны. КМNТ - параллелограмм с равными диагоналями ( КN=МТ по условию), т.е. КМNТ - прямоугольник. А раз стороны КМNТ пересекаются под прямым углом, то и диагонали четырехугольника АВСD, которым они параллельны, также пересекаются под прямым углом, ч.т.д.

Приложения: