Question

решить уравнение в целых числах
$3 {x}^{2} + 2xy - {y}^{2} = 4$
я преобразовал его до вида
$(3x - y)(x + y) = 4$
но не знаю как решать дальше, помогите!!!

Answer 1

(3x-y)(x+y)=4

1) (3x-y)(x+y)=4*1

3x-y=4

x+y=1

Суммируем эти уравнения:

4x=5

x=0,8  ∉.

Аналогично:

3x-y=1

x+y=4  

x=0,8  ∉.

2) (3x-y)((x+y)=2*2

3x-y=2

x+y=2

Суммируем эти уравнения:

4x=4  |÷4

x₁=1   ⇒   y₁=2-1=1.

3) (3x-y)(x+y)=(-2)(-2)

3x-y=-2

x+y=-2

Суммируем эти уравнения:

4x=-4    |÷4

x₂=-1    ⇒    y₂=-2+1=-1

Ответ: x₁=1    y₁=1      x₂=-1      y₂=-1.

Answer 2

Раз нам нужно найти в целых числах,
то возможны лишь следующие варианты:

$\left \{ {{3x - y = 4} \atop {x + y = 1}} \right. = > x,y∉Z\\ \left \{ {{3x - y = 2} \atop {x + y = 2}} \right. = > x = 1, y = 1\\ \left \{ {{3x - y = 1} \atop {x + y = 4}} \right. = > x,y∉Z \\ \\ \left \{ {{3x - y = - 4} \atop {x + y = - 1}} \right. = > x,y∉Z \\ \left \{ {{3x - y = - 2} \atop {x + y = - 2}} \right. = > x = - 1, \: y = - 1\\ \left \{ {{3x - y = - 1} \atop {x + y = - 4}} \right. = > x,y∉Z$
Поэтому ответ:

$\left \{ {{x_1= 1} \atop {y_1 = 1}} \right.$
и
$\left \{ {{x_2= - 1} \atop {y_2= - 1}} \right.$