Question

Докажите, что если a и c числа разных знаков, то квадратное уравнение ax2+bx+c=0 имеет корни. Каковы их знаки?

Answer 1

$ax^2+bx+c=0$

Если а и с разных знаков, то  $a\cdot c<0\; \; i\; \; \frac{c}{a}<0$  .

Дискриминант  $D=b^2-4ac>0$  , так как b²≥0 , -4ас>0 , значит дискриминант  будет > 0 . При D>0 квадратное уравнение имеет два различных корня.

По теореме Виета произведение корней даёт число, равное с/а, которое отрицательно. Значит множители произведения будут разных знаков, то есть корни разных знаков.

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}<0\; \; \Rightarrow \; \; x_1<0\; ,\; x_2>0\; \; ili\; \; x_1>0\; ,\; x_2<0\; .$