Question

докажите неравенство,
(a>0, b>0):
$\frac{a}{b^{2} } + \frac{b}{a^{2} } \geqslant \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

(P.s. это вообще реально доказать? XD)

Answer 1

a/b² + b/a² ≥ 1/a + 1/b

Преобразуем данное неравенство к виду

(a³ + b³)/a²b² ≥ (a + b)/ab

ab(a³ + b³) ≥ a²b²(a + b)

Сокращая на ab, получаем

(a³ + b³) ≥ ab(a + b)

Как известно, сумма кубов двух чисел равна

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Подставляя в последнее неравенство, имеем

(a + b)(a² -ab + b²) ≥ ab(a + b)

Т. к. a > 0 и b > 0, сокращая на a + b, получаем

a² - ab + b² ≥ ab

a² - ab +b² - ab ≥ 0

a² - 2ab + b² ≥ 0

(a - b)² ≥ 0, что является верным неравенством.

Что и требовалось доказать.