Question

Решите пожалуйста логарифмы и объясните как решали

Answer 1

Обязательная часть.

Номер 1.

а) $log_{2}(x-2)+log_{2}(x-3)=0$

Найдем ОДЗ (область допустимых значений)

$\left \{ {{x-2>0} \atop {x-3>0}} \right.$

$x\in(3,+\infty)$

Используя $log_{a}x+log_{a}y=log_{a}(x\times y)$

$log_{2}((x-2)\times(x-3))=0$

$log_{2}(x^{2}-5x+6)=0$

Единственный случай, при котором логарифм может быть равен нулю, когда аргумент равен 1

$x^{2}-5x+6=1$

$x^{2}-5x+5=0$

Решаем квадратное уравнение

$D=(-5)^{2}-4\times1\times5=5$

$x_{1}=\frac{5+\sqrt{5}}{2}$

$x_{2}=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$

Проверяем принадлежит ли решение ОДЗ

Ответ: $x=\frac{5+\sqrt{5}}{2}$

б) $log_{0.5}(2x-3)=-2$

Найдем ОДЗ (область допустимых значений)

$2x-3>0$

$x > 1.5$

Т.к. $log_{a}x=b$ равно $x=a^{b}$, решаем

$2x-3=0.5^{-2}$

$2x-3=(\frac{1}{2})^{-2}$

Используя $(\frac{1}{a})^{-n}=a^{n}$

$2x-3=2^{2}$

$x=3.5$

Проверяем принадлежит ли решение ОДЗ

Ответ: $x=3.5$

Номер 2.

$log_{8}(4-2x)\geq2$

Найдем ОДЗ (область допустимых значений)

$4-2x>0$

$x<2$

$log_{8}(2(2-x))\geq2$ (Вынес общий множитель)

Используя $log_{a}(x\times y)=log_{a}x+log_{a}y$

$log_{8}2+log_{8}(2-x)\geq2$

$log_{2^{3}}2+log_{8}(2-x)\geq2$ (Представил 8 как 2 в кубе)

Используя $log_{a^{y}}a=\frac{1}{y}$

$\frac{1}{3}+log_{8}(2-x)\geq2$

$log_{8}(2-x)\geq\frac{5}{3}$

Для a>1 выражение $log_{a}x\geq b$ равно $x\geq a^{b}$

$2-x\geq8^{\frac{5}{3}}$

$2-x\geq(2^{3})^{\frac{5}{3}}$

$2-x\geq2^{5}$

$2-x\geq32$

$-x\geq30$

$x\leq-30$

Проверяем принадлежит ли решение ОДЗ

Ответ: $x\in(-\infty,-30]$

Дополнительная часть.

Номер 1.

$log_{3}x+log_{\sqrt{x}}x-log_{\frac{1}{3}}x=6$

Используя $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{x^{n}}=x^{-n}$

$log_{3}x+log_{x^{\frac{1}{2}}}x-log_{3^{-1}}x=6$

Используя $log_{a^{y}}a=\frac{1}{y}$

$log_{3}x+2-log_{3^{-1}}x=6$

Используя $log_{a^{y}}b=\frac{1}{y}\times log_{a}b$

$log_{3}x+2-(-log_{3}x)=6$

$log_{3}x+2+log_{3}x=6$

$2log_{3}x+2=6$

$2log_{3}x=4$

$log_{3}x=2$

Т.к. $log_{a}x=b$ равно $x=a^{b}$, решаем

$x=3^{2}$

$x=9$

Ответ: $x=9$

Номер 2.

lg - это логарифм по основанию 10, т.е $log_{10}x$

$\frac{lg10x}{lgx}\geq2$

Найдем ОДЗ (область допустимых значений)

$\left\{\begin{matrix}10x>0\\x>0\\log_{10}x\neq0\end{matrix}\right.$

$x\in(0,1)\cup(1,+\infty)$

Используя $log_{a}(x\times y)=log_{a}x+log_{a}y$

$\frac{lg10+lgx}{lgx}\geq2$

Опираясь, на определение, описанное выше, логарифм с одинаковыми основанием и аргументов равен 1

$\frac{1+lgx}{lgx}\geq2$

Пусть $t=lgx$

$\frac{1+t}{t}\geq2$

$t\in(0,1]$

$lgx\in(0,1]$

Запишем интервал в виде системы

$\left \{ {{lgx>0} \atop {lgx\leq1}} \right.$

Для a > 1 выражение $log_{a}x>b$ равно $x>a^{b}$

Для a > 1 выражение $log_{a}x\leq b$ равно $x\leq a^{b}$

$\left \{ {{x>1} \atop {x\leq10}} \right.$

Проверяем принадлежит ли решение ОДЗ

Ответ: $x\in(1,10]$