Question

разложить многочлен (2(t^2)+3)/((t^3)+3t) ответ я знаю, но я не могу расписать как он получен, нужно как то методом неопределенных коофецентов я пологаю

Answer 1

$\int \frac{2 {t}^{2} + 3}{ {t}^{3} + 3t} dt = \int \frac{2 {t}^{2} + 3}{t ({t}^{2} + 3)} dt$
$\frac{2 {t}^{2} + 3}{ t({t}^{2} + 3)} = \frac{a}{t} + \frac{bt + c}{ {t}^{2} + 3 } = \\ = \frac{a {t}^{2} + 3a + b {t}^{2} + ct}{t({t}^{2} + 3) } = \\ = \frac{(a + b) {t}^{2} + ct + 3a}{t({t}^{2} + 3)} \\ (a + b) {t}^{2} + ct + 3a = \\ = 2 {t}^{2} + 3$
приравнивается равные коэффициенты при одинаковых степенях t
$\left \{ {{a + b = 2} { \: \: \: \: c= 0}\atop {3a = 3}} \right. = > \\ \left \{ {{a = 1} { \: \: \: b= 1}\atop {c = 0}} \right.$
поэтому
$\int \frac{2 {t}^{2} + 3}{ t({t}^{2} + 3)} dt= \\ = \int \frac{1}{t} dt + \int \frac{tdt }{ {t}^{2} + 3 } = \\ = ln |t| + \int \frac{1}{2} \frac{d( {t}^{2} + 3) }{ {t}^{2} + 3 } = \\ = ln( |t| ) + \frac{1}{2} ln( | {t}^{2} + 3| ) + c = \\ = ln( |t| ) + \frac{1}{2} ln( {t}^{2} + 3) + c$