Question

Найти общее решение системы уравнений:
dx/dt=2x+y
dy/dt=3x+4y

Answer 1

для простоты обозначим производные как:

dx/dt=x'

dy/dt=y'

применяем метод исключения (выражаем одну функцию через другую)

$\left\{\begin{matrix}x'=2x+y\\ y'=3x+4y \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=x'-2x\\ y'=3x+4y \end{matrix}\right. \\ \\ y'=x''-2x' \\ \\ x''-2x'=3x+4(x'-2x) \\ x''-2x'=3x+4x'-8x \\ x''-6x'+5x=0 \\ \\ k^2-6k+5=0 \\ k_1=1 \\ k_2=5$

$x(t)=C_1e^t+C_2e^{5t} \\ \\ y(t)=x'-2x =C_1e^t+5C_2e^{5t}-2*(C_1e^t+C_2e^{5t})=\\=C_1e^t+5C_2e^{5t}-2C_1e^t-2C_2e^{5t}=-C_1e^t+3C_2e^{5t} \\ \\OTBET:\begin{pmatrix}C_1e^t+C_2e^{5t}\\ -C_1e^t+3C_2e^{5t}\end{pmatrix}$