Question

Решите систему уравнений :
xy=-12
x^2+y^2+x-y=18

Answer 1

Ответ:

Решениями системы уравнений являются пары чисел (-4;3) и (-3;4).

Объяснение:

$\displaystyle \left \{ {{xy=(-12)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {x^2+y^2+x-y=18}} \right.$

С первого уравнения выразим х через у и подставим во второе.

$\displaystyle \left \{ {{x=\frac{-12}{y} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {\bigg(\frac{-12}{y}\bigg)^2+y^2+\bigg(\frac{-12}{y}\bigg)-y=18}} \right.$

Решаем второе уравнение. Раскрываем скобки и приводим к общему знаменателю у².

$\displaystyle \frac{(-12)^2}{y^2}+{\overset{y^2/}{\big{}}}y^2-{\overset{y/}{\big{}}}\frac{12}{y}-{\overset{y^2/}{\big{}}}y={\overset{y^2/}{\big{}}}18\\ \\\frac{144}{y^2} +\frac{y^4}{y^2} -\frac{12y}{y^2}-\frac{y^3}{y^2} =\frac{18y^2}{y^2}$

Переносим (18у²)/у² влево и записываем всё под общей дробью.

$\displaystyle \frac{144+y^4-12y-y^3-18y^2}{y^2}=0$

Если дробь равна нулю, её числитель равен нулю, знаменатель - не равен нулю.

$\displaystyle144+y^4-12y-y^3-18y^2=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ODZ: y^2\neq 0 \\\\ y^4-y^3-18y^2-12y+144=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \boxed{y\neq0}$

Нам нужно разложить уравнение на множители.

$y^4-3y^3+2y^3-6y^2-12y^2+36y-48y+144=0 \\\\ y^3(y-3)+2y^2(y-3)-12y(y-3)-48(y-3)=0 \\\\ (y^3+2y^2-12y-48) (y-3)=0$

Если произведение равно нулю, то один из множителей равен нулю. Решаем два уравнения.

$y^3+2y^2-12y-48=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y-3=0 \\\\ y^3-4y^2+6y^2-24y+12y-48=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \boxed{y_1=3}$

Мы нашли первый корень уравнения у=3. Продолжаем решать левое уравнение.

$y^2(y-4)+6y(y-4)+12(y-4)=0 \\\\ (y^2+6y+12)(y-4)=0$

Опять же, если произведение равно нулю, то один из множителей равен нулю. Левое уравнение решаем по дискриминанту.

$y^2+6y+12=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y-4=0\\\\D=6^2-4\cdot12=36-48 < 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \boxed{y_2=4}$

Так как дискриминант левого уравнения меньше нуля, это уравнение не имеет корней. Имеем у₁=3 и у₂=4. Возвращаемся к системе.

$\displaystyle \left \{ {{x=\frac{-12}{y} } \atop {y_1=3\ \ }} \right. \Leftrightarrow \ \ \ \left \{ {{x=-\frac{12}{3}} \atop {y_1=3 \ \ }} \right. \Leftrightarrow \ \ \ \boxed{ \left \{ {{x_1=(-4)} \atop {y_1=3\ \ \ \ }} \right. } \\\\\\ \left \{ {{x=\frac{-12}{y} } \atop {y_2=4\ \ }} \right. \Leftrightarrow \ \ \ \left \{ {{x=-\frac{12}{4}} \atop {y_2=4 \ \ }} \right. \Leftrightarrow \ \ \ \boxed{ \left \{ {{x_2=(-3)} \atop {y_2=4\ \ \ \ }} \right. }$

#SPJ5

Answer 2

Ответ:

Ответ: (-3; 4),   (-4; 3)

Объяснение:

Решить систему уравнений:

$\displaystyle \bf \left \{ {{xy=-12} \atop {x^2+y^2+x-y=18}} \right.$

Умножим первое уравнение на (-2) и сложим данные уравнения:$\displaystyle \bf \left \{ {{xy=-12} \;\;\;\;\;|\cdot(-2)\atop {x^2+y^2+x-y=18}} \right.$

$\displaystyle \bf +\begin{cases}\displaystyle \bf-2xy=24\\\displaystyle \bf\underline{x^2+y^2+x-y=18} \end{cases} \\\\\;~\hspace{20px}x^2-2xy+y^2+x-y=42$

Здесь формула квадрата разности двух чисел: (a - b)² = a² - 2ab + b².

$\displaystyle \bf (x-y)^2+(x-y)-42=0$

Выполним замену:  (х - у) = а

а² + а - 42 = 0

$\displaystyle \bf D=1+168=169\\\\\sqrt{D}=13$

$\displaystyle \bf a_1=\frac{-1+13}{2}=6;\;\;\;\;\;a_2=\frac{-1-13}{2} =-7$

А теперь выполним обратную замену и найдем корни.

1. x - y = 6     ⇒     x = y + 6

Подставим х в первое уравнение системы:

y² + 6y + 12 = 0

D = 36 - 48 = -12

D < 0   ⇒   нет корней.

2. х - у = -7   ⇒   х = у - 7

у² - 7у + 12 = 0

D = 49 - 48 = 1

$\displaystyle \bf y_1 = \frac{7+1}{2}=4;\;\;\;\;\;y_2=\frac{7-1}{2}=3$

Тогда

х₁ = 4 - 7 = -3;    х₂ = 3 - 7 = -4

Ответ: (-3; 4),   (-4; 3)