Question

доказать методом математической индукции что (5*2^3n-2 +3^3n-1) делится на 19 без остатка

Answer 1

для N=1

5*2^(3-2) + 3^(3-1)=10+9=19 делится

предположим что верно для N, тогда верно и для N+1

5*2^(3N-2)+3^(3N-1) верно

Доказать что 5*2^(3(N+1)-2)+3^(3(N+1)-1) тоже делится на 19

5*2^(3(N+1)-2)+3^(3(N+1)-1)=5*2^(3N+3-2)+3^(3N+3-1)=5*2^(3N+1)+3^(3N+2)=

= 5*2^(3N-2)*2^3+3^(3N-1)*3^3=5*2^(3N-2)*8+3^(3N-1)*27=5*2^(3N-2)*8+3^(3N-1)*8+3^(3N-1)*19=8*(5*2^(3N-2)+3^(3N-1))+3^(3N-1)*19

два слагаемых - второе делится так как один из сомножителей кратен 19, в первом слагаемом в скобках тоже делится на 19 как предположение при N