Question

Помогите пожалуйста решить уравнение
$|x + 1| - |x + 4| + |12x - 3| + |3x - 2| + 3 = 0$

Answer 1

Рассмотрим функцию $f(x)=|12x-3|+|3x-2|+|x+1|+3-|x+4|;$ уравнение принимает вид $f(x)=0.$ Докажем, что эта функция убывает при $x<\frac{1}{4}$ и возрастает при $x>\frac{1}{4}.$ В самом деле, на правом промежутке первый модуль раскрывается с плюсом, поэтому общий коэффициент при x, независимо от раскрытия остальных модулей, будет положительным, что говорит о возрастании функции. На левом промежутке первый модуль раскрывается с минусом, поэтому общий коэффициент при x будет отрицательным, что говорит об убывании функции. Поэтому минимальное значение функции достигается в точке 1/4. Найдем его:

$f(1/4)=0+\frac{5}{4}+\frac{5}{4}+3-\frac{17}{4}=\frac{5}{4}.$

Поскольку минимальное значение функции оказалось положительным, функция всюду больше нуля. Вывод: уравнение решений не имеет.

Answer 2

по свойству модулей : |a| +|b| ≥ |a+b|  ⇒ | x +1 |+3 =  | x +1 |+| 3| ≥ |x+4|  ⇒

|x+1 | + 3 -|x+4|  ≥ 0 ⇒   |x + 1|  +3- |x + 4|  + ( |12x - 3|  +  |3x - 2| )  > 0   при

всех х , так как   |12x - 3|  +  |3x - 2| >0 при всех х ( каждый модуль

неотрицательный  и в ноль они обращаются при разных  х ) ⇒ левая

часть уравнения больше нуля при всех х ⇒

уравнение не имеет решений