Question

Помогите с 13 заданием, 5 пример

Answer 1

$\int\limits^1_0\frac{x\, dx}{1+x^4}=\int\limits^1_0\frac{x\, dx}{1+(x^2)^2}=[\, t=x^2\; ,\; dt=2x\, dx\; ,\; xdx=\frac{dt}{2}\; ,\; t_1=0,t_2=1\, ]=\\\\=\frac{1}{2}\int\limits^1_0\frac{dt}{1+t^2}=\frac{1}{2}\cdot arctgt\Big |_0^1=\frac{1}{2}\cdot (arctg1-arctg0)=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}$

Answer 2

вначале найдем определенный интеграл
$\int{ \frac{xdx}{1 + {x}^{4} } } = \int{ \frac{ \frac{1}{2} d {x}^{2} }{1 + ({x}^{2}) ^{2} } } = \\ = \frac{1}{2} \int{ \frac{d y}{1 + y ^{2} } } = \frac{1}{2} arctg(y) + c = \\ = \frac{1}{2} arctg( {x}^{2} ) + c$

поэтому

$\binom{1}{0} \int{ \frac{xdx}{1 + {x}^{4} } } =\frac{1}{2} arctg( {x}^{2} ) \binom{1}{0} = \\ =\frac{1}{2} arctg( {1}^{2} ) - \frac{1}{2} arctg( {0}^{2} ) = \\ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{8}$