Question

Помогите
Задание номер 12
5 пример( а,б,в,г) Нужно все, но можете сделать какие сможете

Answer 1

$1)\; \; \int \frac{dx}{x\cdot ln^2x}=\int \frac{dx/x}{ln^2x}=[\; t=lnx\; ,\; dt=\frac{dx}{x}\, ]=\int \frac{dt}{t^2}=\\\\=\int t^{-2}dt=\frac{t^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{t}+C=-\frac{1}{lnx}+C;$

$2)\; \; \int xe^{2x}dx=[\, u=x,\; du=dx,\; dv=e^{2x}dx,\; v=\frac{1}{2}e^{2x}\, ]=\\\\=uv-\int v\, du=\frac{x}{2}e^{2x}-\frac{1}{2}\int e^{2x}dx=\frac{x}{2}e^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}C;$

$3)\; \; \int \frac{x^3+3}{x^2+x-6}dx=\int (x-1+\frac{7x-9}{x^2+x-6})dx=\frac{x^2}{2}-x+\int \frac{7x-9}{(x-2)(x+3)}dx=I\\\\\frac{7x-9}{(x-2)(x+3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+3};\\\\7x-9=A(x+3)+B(x-2)\\\\x=-3:\; \; -21-9=-5B\; ,\; \; B=\frac{30}{5}=6;\\ \\x=2:\; \; 14-9=5A\; ,\; \; A=\frac{5}{5}=1;\\\\I=\frac{x^2}{2}-x+\int \frac{dx}{x-2}+\int \frac{6\, dx}{x+3}=\frac{x^2}{2}-x+ln|x-2|+6\, ln|x+3|+C;$

$4)\; \; \int \sqrt[3]{4-5sin2x}\cdot cos2x\, dx=[\, t=4-5sin2x,\; dt=-5\cdot 2cos2x\, dx\, ]=\\\\=-\frac{1}{10} \int \sqrt[3]{t}\cdot dt=-\frac{1}{10}\cdot \frac{t^{4/3}}{4/3}+C=-\frac{3}{10}\cdot \frac{\sqrt[3]{(4-5sin2x)^4}}{4}+C;$