Question

1 задание. Докажите, что значение выражения х²+2ху+2у² не может быть отрицательным числом

2 задание. Докажите, что неравенство верно для любого значения переменной
1) х²- 4ху + 5у²≥ 0
2) (х+у)²≥ 4ху

Answer 1

1.

x²+2xy+2y²=x²+2xy+y²+y²=(x+y)²+y²

Число, возведенное в квадрат, неотрицательно, а значит и сумма таких чисел неотрицательна. Доказано.

2.

1)

x²-4xy+5y²=x²-4xy+4y²+y²=(x-2y)²+y²

Аналогично первому, выражение не принимает отрицательных значений. Доказано.

2)

(x+y)²≥4xy  ⇔  x²+2xy+y²≥4xy  ⇔  x²-2xy+y²≥0  ⇔  (x-y)²≥0

Квадрат числа неотрицателен, выражение верно для любых x, y. Доказано.