Question

Для передачи сообщения используются сигналы типов 0 и 1. Сигналы 0 составляют 60%, а сигналы 1 – остальные 40%. Вероятность искажения сигнала 0 равна 0,0001, а вероятность искажения сигнала 1 равна 0,0002.

а) Найти вероятность искажения наугад взятого сигнала. б)Найти вероятность того, что искаженный сигнал является типа 1. в)Найти вероятность того, что правильно переданный сигнал является типа 1.

Answer 1

Рассмотрим события:

A - передан сигнал 0

B - передан сигнал 1

M|A - переданный сигнал 0 искажен

M|B - переданный сигнал 1 искажен

Так как сигналы типа 0 составляют 60% ото общего числа сигналов, а сигналы типа 1 - 40%, то вероятности появления этих сигналов равны:

$P(A)=0.6\\P(B)=0.4$

Вероятность искажения наугад взятого сигнала равна сумме попарных произведений вероятностей появления определенного сигнала на соответствующую вероятность искажения:

$P(M)=P(A)\cdot P(M|A)+P(B)\cdot P(M|B)=\\=0.6\cdot0.0001+0.4\cdot0.0002=0.00014$

Вероятность того, что искаженный сигнал является сигналом типа 1 определим по формуле Байеса (выделим долю искаженных сигналов типа 1 из общего количества искаженных сигналов):

$P(B|M)=\dfrac{P(B)\cdot P(M|B)}{P(A)\cdot P(M|A)+P(B)\cdot P(M|B)}=\dfrac{0.4\cdot 0.0002}{0.00014}=\dfrac{0.00008}{0.00014}=\dfrac{4}{7}$

События правильной передачи сигнала и его искажения - противоположные. Вероятность того, что правильно переданный сигнал является сигналом типа 1:

$P(B|\overline{M})=\dfrac{P(B)\cdot P(\overline{M}|B)}{P(A)\cdot P(\overline{M}|A)+P(B)\cdot P(\overline{M}|B)}=\\\\=\dfrac{0.4\cdot (1-0.0002)}{1-0.00014}=\dfrac{0.39992}{0.99986}=\dfrac{39992}{99986} =\dfrac{19996}{49993}$