Question

Найти общие решение дифференциальных уравнений

Answer 1

Это линейное неоднородное диффиренциальное уравнение вида $y' + y*P(x) = Q(x)$

Для начала надо найти решение соотв. однородного дифф-урафнения $y' + y*P(x) = 0$

$x^2y'+2xy=-4\\y'+\frac{2}{x}y=-\frac{4}{x^2}$

Однородное: $y'+\frac{2}{x}y=0$

$y'=-\frac{2}{x}y\\\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{x}y\\\frac{dy}{y}=-\frac{2}{x}dx$

$\int {\frac{1}{y}} \, dy = -2\int {\frac{1}{x}} \, dx\\\ln{|y|} + C_1 = -2\ln{|x|}\\\ln{|y|} = \ln{|C|} + \ln{|x^{-2}|}, \ln{|C|} = -C_1\\y = C*x^{-2}$

Теперь найдём решение неоднородного уравнения:

Представим С как функцию от X. $y = C(x)*x^{-2}$

Подставим в исходное уравнение:

$(C(x)*x^{-2})'+\frac{2}{x}(C(x)*x^{-2})=-\frac{4}{x^2}\\C'(x)*x^{-2} = -\frac{4}{x^2}\\C'(x) = -4\\dC = -4dx\\C(x) = -4x + C_2$

Решение:

$y = (-4x + C_2)*\frac{1}{x^{2}}\\y = -\frac{4}{x} + \frac{C_2}{x^{2}}$