Question

100 баллов, определите чётность/нечётность функции, ограниченность, промежутки знакопостоянства и наибольшее/наименьшее значения

Answer 1

На фотографии я написал ответ. Думаю так будет понятней чем печатать, хотя почерк у меня не супер)

Answer 2

$y(x) = | {x}^{2} + |x| - 2 | = \\ = | { |x| }^{2} + |x| - 2 |$
так как
$| - x| = |( - 1) \times x| = \\ = | - 1| |x| = 1 \times |x| = |x|$
то
$y( - x) = | { | - x| }^{2} + | - x| - 2 | = \\ = | { |x| }^{2} + |x| - 2 | = y(x)$
функция чётная

функция определена для всех х
Dy:x€R
Еу:[0,+∞)
то есть функция ограничена , она принимает только неотрицательные значения (из-за свойств модуля)
и принимает вид:

$y(x) = \left \{ {{x \geqslant 0... = | {x}^{2} + x - 2 | } \atop {x < 0... = | {x}^{2} - x - 2 |}} \right.$
каждый из этих промежутков
разбивается ещё на два (см фото)
при x≥0
x²+x-2≥0
(x-1)(x+2)≥0
[0,1)v[1;+∞)

при x<0
х²-х-2≥0
(х-2)(х+1)≥0
(-∞;-1]v(-1;0)

функция будет иметь следующий вид
на этих промежутках

$y(x) = \left \{ {{\left \{ {{(x \geqslant 1) = {x}^{2} + x - 2} \atop {(1 > x \geqslant 0) = - ({x}^{2} + x - 2)}} \right. } \atop {\left \{ {{(0 > x \geqslant - 1)= {x}^{2} - x - 2} \atop {( - 1 > x ) = - ({x}^{2} - x - 2)}} \right.}} \right.$

у(х)=|f(x)|≥0, поэтому
решим у(х)=0

$| { |x| }^{2} + |x| - 2 | = 0 \\ { |x| }^{2} + |x| - 2 = 0 \\ ( |x| - 1)( |x| + 2) = 0 \\ |x| = 1 \\ x_1 = 1 \\ x_2 = - 1$
при х¹'²=±1 ( кстати, это нули функции), функция примет наименьшее значение =0

yнаибольшее =+∞

график на рисунке