Question

Срочно! Помогите решить систему уравнений

$\frac{4x - 4y}{x + y} + \frac{3x + 3y}{x - y} = 13$
${x}^{2} - {y}^{2} = 12$

Answer 1

$\left \{ {{\frac{4x-4y}{x+y}+\frac{3x+3y}{x-y}=13 } \atop {x^2-y^2=12}} \right.$ ⇔

⇔$\left \{ {{\frac{4(x-y)^2+3(x+y)^2}{(x-y)(x+y)}=13 } \atop {(x-y)(x+y)=12}} \right.$

пусть x + y = a; x - y = b, тогда: $\left \{ {{\frac{4b^2+3a^2}{ab}=13 } \atop {ab=12}} \right.$ ⇔$\left \{ {{4b^2+3a^2=13ab} \atop {ab=12}} \right.$

можно разложить на множители первое выражение:

$4b^2 - 13ab+3a^2 = 0,\\D = 169a^2 - 48a^2 = 121a^2 = (11a)^2,\\b_{1,2} = \frac{13a +- 11a}{8},\\b_{1} = 3a; b_{2} = 0,25a$

тогда $4b^2-13ab+3a^2 = 4(b - 3a)(b - 0,25a) = (b - 3a)(4b - a)$

и система будет такой:

$\left \{ {{(b-3a)(4b-a)=0} \atop {ab=12}} \right.$ ⇔

⇔ $\left \{ {{a = \frac{12}{b} } \atop {(b-\frac{36}{b})(4b-\frac{12}{b})=0 }} \right.$

можно решить второе, домножив на b:

$(b^2 - 36)(4b^2-12)=0,\\\left \{ {{b^2-36=0} \atop {4b^2-12=0}} \right.$ ⇔

$\left \{ {{b = +- 6} \atop {b = +-\sqrt{3} }} \right.$

получается вот это:

$\left \{ {{b=6} \atop {a=2}} \right. \left \{ {{b=-6} \atop {a=-2}} \right. \left \{ {{b=\sqrt{3} } \atop {a=4\sqrt{3} }} \right. \left \{ {{b=-\sqrt{3} } \atop {a=-4\sqrt{3} }} \right.$

подставляем x и y:

$\left \{ {{x-y=6} \atop {x+y=2}} \right. \left \{ {{x-y=-6} \atop {x+y=-2}} \right. \left \{ {{x-y=\sqrt{3} } \atop {x+y=4\sqrt{3} }} \right. \left \{ {{x-y=-\sqrt{3} } \atop {x+y=-4\sqrt{3} }} \right.$

ищем корни поочередно методом сложения:

1) $x - y + x + y = 6 + 2,\\2x = 8\\x = 4;\\y = -2$

2) $x-y+x+y = -6-2,\\2x=-8\\x=-4,\\y=2$

3) $x-y+x+y=\sqrt{3}+4\sqrt{3},\\ 2x=5\sqrt{3},\\ x=2,5\sqrt{3},\\ y=1,5\sqrt{3};$

4) $x-y+x+y=-\sqrt{3}-4\sqrt{3},\\ 2x=-5\sqrt{3},\\ x=-2,5\sqrt{3};\\y=-1,5\sqrt{3}.$

Ответ: $(4;-2);(-4;2);(2,5\sqrt{3};1,5\sqrt{3});(-2,5\sqrt{3};-1,5\sqrt{3})$

Может быть есть решение более короче) И правильнее))