Question

при каких значениях параметра  а корни уравнения х^3+ax^2+48x-27=0 составляют геометрическую прогрессию

Answer 1

Можно решить эту задачу 2 способами! 
I Первый способ , как известно корни уравнения связаны между собой По  теореме Виета , следующими условиями. Пусть корни данного уравнения равны $x_{1},x_{2},x_{3}$
Теперь сами условию 
$x_{1}+x_{2}+x_{3}=a\ x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2} x_{3}=48\ x_{1}x_{2}x_{3}=27\ \ tak kak korni sostovlayut geom prog!\ x_{1}\ x_{2}=x_{1}*q\ x_{3}=x_{1}*q^2\\ x_{1}^3*q^3=27\ x_{1}*q=3\ x_{2}=3$
то есть второй корень равен 3.
Теперь решим систему , затем найдем параметр а если он один
$3x_{1}+x_{1}x_{3}+3x_{3}=48\ 3x_{1}x_{3}=27\ \ x_{1}=frac{18}{sqrt{133}+13}\ x_{3}=frac{sqrt{133}+13}{2}\ \ a=frac{18}{sqrt{133}+13}+frac{sqrt{133}+13}{2}+3=16\ a=16$
 Очень страшные корни получились , НО ПРОВЕРИМ НАШИ КОРНИ НА ВЕРНОСТЬ!
ЕСЛИ ОНИ СОСТАВЛЯЮТ ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ ПРОГРЕССИЮ ТО ОНИ ДОЛЖНЫ УДОВЛЕТВОРИТЬ ТАКОМУ СООТНОШЕНИЮ 
$frac{x_{3}}{x_{2}}=frac{x_{2}}{x_{1}}\ frac{frac{sqrt{133}+13}{2}}{3}=frac{3}{frac{18}{sqrt{133}+13}}\ verno$
Ответ при а=16 

Второй способ
пусть наши корни равны 
$x_{1}=y\ x_{2}=yq\ x_{3}=yq^2\ \ togda\ (x_{1}-y)(x_{2}-yq)(x_{3}-yq^2)=0$
Если открыть и решим систему приравнять каждый  элемент соответствующий другому элементу 
то есть 
$-q^3y^3+q^3xy^2+q^2xy^2+qxy^2-q^2x^2y-qx^2y-x^2y+x^3=0\ \ q^3*y^2*x+q^2*y^2*x+q*y^2*x=48x\ -q^2*y*x^2-qy*x^2-y*x^2=ax^2\ -q^3*y^3=-27$
получим тот же ответ