Question

При каком наибольшем a система уравнений имеет решение в целых числах?

Answer 1

$\left \{ {{x-2y=3} \atop {ax+y=2}} \right.$
$\left \{ {{x-2y=3} \atop {2ax+2y=4}} \right.$

сложим уравнения

$(1 + 2a)x = 7 \\ x = \frac{7}{1 + 2a} \\ y = 2 - ax = \\ = 2 - \frac{7a}{1 + 2a} = \\ = \frac{2 + 4a - 7a}{1 + 2a} = \frac{2 - 3a}{1 + 2a}$
Так как решения могут быть только целыми, то из выражения для х
$x = \frac{7}{1 + 2a}$

мы видим, что
1+2а=7 откуда а=3
или 1+2а=1 откуда а=0

$y = \frac{2 - 3a}{1 + 2a}$

при а=0
$y = \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2$


при а=3
$y = \frac{2 - 9}{1 + 6} = - 1$

при обоих значениях а решения будут целыми

наибольшее а=3

Ответ при а=3