Question

Найти все целочисленные решения уравнения 4х-3y=-3

Answer 1

$4x-3y=-3\; \; \; (1)$

Коэффициенты 4 и (-3) взаимно простые, то есть НОД(4;-3)=1   ⇒   уравнение имеет решение в целых числах.

Можно подобрать решение (x₀,y₀)  уравнения 4x-3y= -3 . Это будет  х₀=3 , у₀=5 . Действительно 4·3-3·5= -3   (2) .

Теперь вычтем из уравнения  (1) уравнение  (2), получим:

$4x-3y-(4\cdot 3-3\cdot 5)=-3-(-3)\; \; ,\; \; 4x-4\cdot 3-3y+3\cdot 5=0\; ,\\\\4\cdot (x-3)-3\cdot (y-5)=0\\\\y-5=\frac{4\cdot (x-3)}{3}$

Так как нам нужны целые решения, то из последнего равенства следует, что (у-5) - целое. Так как 4 не делится на 3, то (у-5) - целое, если (х-3) делится на 3 нацело, то есть представимо в виде:  

$x-3=3k\; ,\; x=3k+3\; ,\; k\in Z\; \; \Rightarrow \; \; y-5=\frac{4\cdot 3k}{3}=4k\; ,\; k\in Z$  

$y=4k+5\; \; \Rightarrow \; \; Otvet:\; \; \left \{ {{x=3k+3\; ,\; k\in Z\; ,} \atop {y=4k+5\; ,\; k\in Z\; .}} \right.$

Answer 2

task/29816389 Найти все целочисленные решения уравнения 4x - 3y = - 3

Решение 4x - 3y = - 3 ⇔ x  = 3*(y -1) / 4 ;  3 не делится  на 4 ,

поэтому   x ∈ ℤ,  если  (y - 1 )/4 = k ∈ ℤ ,  т.е.   y - 1 = 4k ⇔ y = 4k +1

ответ:   { x =3k ;  y =4k+1 , где  k любое целое число → k ∈ ℤ