Question

Решите, пожалуйста
1. х+6     х-6
-------- - --------
х+1         х-1

2. При каких натуральных n дробь 7n2+4n+12 принимает натуральные значения?
----------------
n
Даю 10 баллов

Answer 1

$1)~\dfrac{x+6}{x+1}-\dfrac{x-6}{x-1}=0\medskip\\\dfrac{\left(x+6\right)\left(x-1\right)-\left(x-6\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=0\medskip\\\dfrac{x^2+5x-6-x^2+5x+6}{x^2-1}=0\medskip\\\dfrac{10x}{x^2-1}=0\medskip\\\begin{cases}x=0\\x\neq\pm1\end{cases}\Leftrightarrow x=0$

$2)~\dfrac{7n^2+4n+12}{n}=7n+4+\dfrac{12}{n}$

Очевидным образом, к первому слагаемому не прилагается никаких ограничений. А вот к последнему, в первую очередь, $n\neq 0$, но ноль нам не попадется т.к. ищем $n\in\mathbb{N}$. Нетрудно догадаться, что нужны $n\leqslant 12$, причём такие, что будут делить $12$.

Получаем - $n\in\left\{1;~2;~3;~4;~6;~12\right\}\subset\mathbb{N}$