Question

Найдите значения a и b, при которых равенство
$\frac{5x + 31}{(x - 5)x + 2)} = \frac{a}{x - 5} + \frac{b}{x + 2}$
Выполняется при всех допустимых значениях переменной x

Answer 1

$\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} =\frac{a}{x-5} +\frac{b}{x+2}$

Преобразуем правую часть:

$\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} =\frac{a(x+2)+b(x-5)}{(x-5)(x+2)}$

$\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} =\frac{ax+2a+bx-5b}{(x-5)(x+2)}$

$\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} =\frac{(a+b)x+(2a-5b)}{(x-5)(x+2)}$

У равных дробей с равными знаменателями равны также и их числители, т.е.:

$5x+31=(a+b)x+(2a-5b)$

Получаем систему двух уравнений:

$\left \{ {{a+b=5} \atop {2a-5b=31}} \right.$

$\left \{ {{b=5-a} \atop {2a-5*(5-a)=31}} \right.$

$\left \{ {{b=5-a} \atop {2a-25+5a=31}} \right.$

Решаем второе уравнение:

$7a=56$

$a=56:7$

$a=8$

Подставим в первое и найдем b

$8+b=5$

$b=-3$

Ответ: a=8;   b = - 3